Den deriverte til omvendte funksjoner

La $$ g\left(x\right)$$ være den omvendte funksjonen til $$ f\left(x\right)$$. Da er $$ g\left(f\left(x\right)\right)=x$$. Vi deriverer begge sider av likningen. På venstre side bruker vi kjerneregelen. På høyre side får vi 1.

$$ \begin{array}{rcl}g\left(f\left(x\right)\right)& =& x\\ & \Downarrow & \\ {\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\text{'}}& =& x^{\text{'}} \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 1 \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)& =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\end{array}$$

Den deriverte til funksjonen er med andre ord lik $$ \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$.

Når vi vet dette, kan vi finne den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt ut fra den deriverte til funksjonen, uten å gå veien om å finne den omvendte funksjonen og så derivere denne. Hvis vi allerede kjenner den omvendte funksjonen, kan vi selvfølgelig derivere denne på vanlig måte.

Vi tar utgangspunkt i funksjonen$$

$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2, D_f=R$

og finner $$ f\left(1\right), f^{\text{'}}\left(x\right) \mathrm{og} f^{\text{'}}\left(1\right)$$:

$\begin{array}{l}f\left(1\right)=\sqrt[3]{1}-2=1-2=-1\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{1}{3}\end{array}$

Vi har nå det vi trenger for å finne den deriverte til den omvendte funksjonen for $$ x=-1$$, $$ g^{\text{'}}(-1)$$ ut fra formelen:

$$ \begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\end{array}$$

Vi ser at vi har funnet den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt, uten å måtte finne den omvendte funksjonen.

Siden $$ f$$ og $$ g$$ er omvendte funksjoner, ligger grafene symmetrisk om linja $$ y=x$$. Da må også tangentene til grafene i A og B (se grafen) ligge symmetrisk om denne linja. Vi ser geometrisk at tangentene har inverse stigningstall.

$$ g^{\text{'}}\left(-1\right)=3 \text{og} f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3}$$

Legg merke til at vi kan tegne grafen til den omvendte funksjonen ved å speile grafen til $$ f$$ om linja $$ y=x$$.

Eksempel

Vi skal nå vise at vi kan finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi, til tross for at det er umulig å finne den omvendte funksjonen.

$$ f\left(x\right)=e^x+\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-13 , D_f=\mathrm{ℝ}$$

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+x^2-6x+9\\ \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+{\left(x-3\right)}^2\end{array}$

Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er voksende i hele sitt definisjonsområde og derfor har en omvendt funksjon $$ g$$.

Det er umulig å finne den omvendte funksjonen $$ g$$, men det er likevel mulig å finne for eksempel $$ g^{\text{'}}\left(-12\right)$$. Det er fordi

$$ f\left(0\right)=e^0+\frac{1}{3}·0^3-3·0^2+9·0-13=-12$$

og

$$ g^{\text{'}}\left(-12\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(0\right)}=\frac{1}{e^0+{\left(0-3\right)}^2}=\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$$.

Vi var her avhengige av å finne den x-verdien som ga funksjonen $$ f$$ verdien -12.

For å finne den deriverte til den omvendte funksjonen i en bestemt verdi $$ a$$, $$ g^{\text{'}}\left(a\right)$$, må vi altså først finne den tilhørende x-verdien som gir $$ a$$ som funksjonsverdi til $$ f$$. Vi setter $$ f\left(x\right)=a$$ .