Den deriverte til omvendte funksjoner

Bruk at  $$ $ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$$.

a)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x+5 \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2\\ g^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ & =& \frac{1}{2}\\ & & \end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{1}{4}x-7\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{4}\\ g^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right) & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)} \\ & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=4\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -3x+1 \\ g^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right) & =& \hspace{0.17em}\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ & & \\ & =& \frac{1}{{\displaystyle -3}} =-\frac{1}{3}\end{array}$$

Den deriverte av en lineær funksjon gir stigningstallet $$ a$$ til den rette linja som funksjonen representerer. Den tilhørende omvendte funksjonen til hver av disse funksjonene er også lineære funksjoner, der stigningstallet er $$ \frac{1}{a}$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & = & ax + b\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& a\\ g^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}=\frac{1}{a}\end{array}$$

a)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^2+2x-5\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2x+2\\ f\left(1\right)\hspace{0.17em}& =& 1^2+2·1-5 = -2\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& 2·1+2 =4\end{array}$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}& & g^{\text{'}}(-2) \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl} g^{\text{'}}\left(f\right(1\left)\right)\hspace{0.17em}& =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{4}\end{array}$$

c) og d)

Løsningen i CAS er vist. Vi ser at vi har det samme forholdet mellom stigningstallene til tangentene for $$ f$$ og $$ g$$ her som vi hadde for de lineære funksjonene i oppgave 3.3.40. Stigningstallet til tangenten til $$ f$$ i punktet $$ (1,f(1\left)\right)$$ er 4, mens stigningstallet til den omvendte funksjonen $$ g$$ i punktet $$ (2,g(2\left)\right)$$ er $$ \frac{1}{4}$$.

a) Program i Python som finner den deriverte til en omvendt funksjon:

1print("Utgangspunkt: en lineær funksjon")
2a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
3b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
4print(f"f'(x)= {a:.2f}")
5print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

b) Utvidelse av programmet fra a):

1a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
2b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
3
4print(f"f(x)= {a}x+{b}")
5print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x+{(b/a):.2f}")
6
7print(f"f'(x)= {a:.2f}")
8print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

Vi viser bruk av if-test for at utskriften skal bli bedre når konstantleddet er negativt:

1a=float(input("Oppgi funksjonens stigningstall:"))
2b=float(input("Oppgi funksjonens konstantledd:"))
3
4if (b>0):
5    print(f"f(x)= {a}x+{b}")
6else:
7    print(f"f(x)= {a}x{b}")
8
9if ((b/a)>0):
10    print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x+{(b/a):.2f}")
11else:
12    print(f"g(x)= {(1/a):.2f}x{(b/a):.2f}")
13    
14print(f"f'(x)= {a:.2f}")
15print(f"g'(x)= {(1/a):.2f}")

a) $$ V_f = ⟨0,\infty ⟩$$

b) Den deriverte av $$ e^x$$, $$ f^{\text{'}}\left(x\right) = e^x$$, er alltid positiv, siden eksponentialfunksjoner med grunntall større enn 1 har denne egenskapen. Det betyr at funksjonen er voksende i hele definisjonsområdet sitt og derfor har en omvendt funksjon $$ g$$.

c)

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}y\\ y & =& e^x\\ \ln y & =& \ln e^x\\ x & =& \ln y\\ g\left(x\right)\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\ln x\end{array}$$

d) Definisjonsmengden til $$ g$$ er lik verdimengden til $$ f$$. Verdimengden til $$ g$$ er lik definisjonsmengden til $$ f$$.

$$ D_g = \langle 0,\infty \rangle , V_g\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\mathrm{ℝ}$$

e)

$$ \begin{array}{rcl} f\left(x\right)\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}{e}^x\\ f\left(1\right)\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}{e}^1 =\hspace{0.17em}e\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \hspace{0.17em}{e}^x \\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& e^1=e \end{array}$$

f)

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(f\left(1\right)\right)\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}=\frac{1}{e}\\ & & \\ g\left(x\right) & =& \ln \left(x\right)\\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{x}\\ g^{\text{'}}\left(e\right) & =& \frac{1}{e}\\ & & \end{array}$$

a) Vi skal finne $$ g\left(\sqrt{6}\right)$$ og $$ g^{\text{'}}\left(\sqrt{6}\right)$$ uten å finne den omvendte funksjonen. For å finne $$ g\left(\sqrt{6}\right)$$ løser vi likningen  $$ f\left(x\right) = \sqrt{6}$$:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{x^2+x} & =& \sqrt{6}\\ x^2+x & =& 6\\ x^2+x-6 & =& 0\end{array}$$

$$ x = 2 \vee x=-3$$

Siden $$ f\left(x\right)$$ bare er definert for positive verdier av $$ x$$, er  $$ x = 2$$  den eneste muligheten.

Vi vet nå følgende:

$$ $ \begin{array}{rcl}f\left(2\right) & =& \hspace{0.17em}\sqrt{2^2+2} = \sqrt{6}\\ g\left(\sqrt{6}\right) & =& 2\\ & & \end{array}$$$

For å finne $$ g^{\text{'}}\left(\sqrt{6}\right)$$ bruker vi sammenhengen  $$ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right) = \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$, og vi må derfor finne $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ først:

$$ $ \begin{array}{lcl}f\left(x\right) & =& \sqrt{x^2+x}\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{2·\sqrt{x^2+x}}·\left(2x+1\right) =\frac{2x+1}{2·\sqrt{x^2+x}}\end{array}$$$

Dette gir:

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(2\right)\hspace{0.17em}& =& \frac{2·2 +1}{2·\sqrt{2^2+2}} = \frac{5}{2·\sqrt{6}}\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)} \\ g^{\text{'}}\left(f\right(2\left)\right) & =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(2\right)}\\ g^{\text{'}}\left(\sqrt{6}\right) & =& \frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\end{array}$$$

$$ $ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& e^{x^3}\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& e^{x^3}·3x^2\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& e^0·3·0^2 =0\end{array}$$$

Tangenten til $$ f$$ har stigningstall lik 0. Dette betyr at tangenten ikke har stigning, den er horisontal. Det angitte punktet er derfor et stasjonært punkt, og siden $$ f$$ er voksende i hele sitt definisjonsområde, vil punktet være et terrassepunkt.

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(f\right(x\left)\right)& =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ & & \\ f\left(x\right)\hspace{0.17em}& =& 1\\ e^{x^3}& =& 1\\ \ln e^{x^3}& =& \ln 1\\ x& = & 0\\ g^{\text{'}}\left(1\right)& =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(0\right)}\\ g^{\text{'}}\left(1\right)& =& \frac{1}{0}\end{array}$$

Vi ser at  $$ x=0$$  gjør at $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$ er ikke er definert. For å forklare hva dette betyr, bruker vi definisjonen av den deriverte:

$$ g^{\text{'}}\left(x\right) = \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{g(x+∆x)-g\left(x\right)}{∆x}$$

Grenseverdien går mot uendelig for  $$ x=1$$, noe som betyr at grafen til funksjonen $$ g$$ har en vertikal (loddrett) tangent i $$ x=1$$. Dette betyr også at $$ g$$ ikke er deriverbar i dette punktet.