Oppgave

Avstand punkt–linje. Vektorfunksjoner

Her kan du øve på å finne avstander mellom punkter og linjer og finne hvor linjer og kurver skjærer de tre koordinatplanene. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Gå til teorisida om avstanden mellom et punkt og ei linje og vis at linja i eksempelet i metode 2 er den samme linja som i metode 1.

Løsning

De tre punktene i eksempelet i arealmetoden er $A (0, 7, 2)$ , $B (4, 0, 2)$ og $C (3, 5, 1)$ , og linja skal gå gjennom $B$ og $C$ . Vi lager en parameterframstilling for denne linja, som vi kaller $l_{B C}$ .

En retningsvektor for linja er

$\vec{B C} = [3 - 4, 5 - 0, 1 - 2] = [- 1, 5, - 1]$

Bruker vi $B$ som fast punkt til parameterframstillingen, får vi

$l_{B C} : \{\begin{cases} x = 4 - t \\ y = 5 t \\ z = 2 - t \end{cases}$

Dette er parameterframstillingen som er brukt i eksempelet i skalarproduktmetoden. Det er derfor samme linje som er brukt i de to eksemplene. Siden det er det samme punktet $A (0, 7, 2)$ vi skulle finne avstanden til, blir det samme avstand vi kommer fram til i de to eksemplene.

Oppgave 2

Vi har gitt punktene $A (- 3, 1, 0), B (1, 1, 3)$ og $C (1, - 1, 2)$ og skal finne avstanden fra $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ .

a) Hvilken av de to metodene vi har kalt arealmetoden og skalarproduktmetoden, vil du velge å bruke?

Løsning

Siden vi ikke har oppgitt noen parameterframstilling for linja, kan det være enklest å bruke arealmetoden.

b) Finn avstanden fra $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ . Løs oppgaven uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Løsning

Uten hjelpemidler:

Vi setter

$\vec{a} = \vec{A B} = [1 - (- 3), 1 - 1, 3 - 0] = [4, 0, 3]$

$|\vec{a}| = \sqrt{4^{2} + 0^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\vec{b} = \vec{A C} = [1 - (- 3), 1 - 1, 3 - 0] = [4, - 2, 2]$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{a} \times \vec{b} \end{array} & = & [0 \cdot 2 - (- 2) \cdot 3, \\ 3 \cdot 4 - 2 \cdot 4, \\ 4 \cdot (- 2) - 4 \cdot 0] \\ = & \begin{array}{l} [6, 4, - 8] \end{array} \end{array}$

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{6^{2} + 4^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{36 + 16 + 64} = \sqrt{116} = 2 \sqrt{29}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{2 \sqrt{29}}{5} = \frac{2}{5} \sqrt{29} \end{array}$

Avstanden fra $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ er $\frac{2}{5} \sqrt{29}$ .

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatene minus 3, 1 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatene 1, 1 og 3. På linje 3 er C definert med koordinatene 1, minus 1 og 2. På linje 4 er det skrevet h er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt komma, Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt parentes slutt. Svaret er h er lik 2 femdels rota av 29. Skjermutklipp.

Oppgave 3

Løs alle deloppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Vi har gitt punktene $A (2, 0, 0), B (0, 4, 0), C (0, 0, 6)$ og $D (1, - 2, 6)$ .

a) Finn avstanden fra $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ .

Tips til oppgaven

Tegn hjelpefigur.

Løsning

Trekanten A C D. Høyden fra A ned til C D er markert. Linja C D er tegnet som vektor med navnet a, og linja C A er tegnet som vektor med navnet b. Illustrasjon.

Vi setter

$\begin{array}{rcl} \vec{a} & = & \vec{C D} = [1 - 0, - 2 - 0, 6 - 6] = [1, - 2, 0] \\ |\vec{a}| & = & \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \\ \vec{b} & = & \vec{C A} = [2 - 0, 0 - 0, 0 - 6] = [2, 0, - 6] \\ \vec{a} \times \vec{b} & = & [- 2 \cdot (- 6) - 0 \cdot 0, 0 \cdot 2 - (- 6) \cdot 1, 1 \cdot 0 - 2 \cdot (- 2)] \\ = & [12, 6, 4] \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & = & \sqrt{12^{2} + 6^{2} + 4^{2}} \\ = & \sqrt{144 + 36 + 16} \\ = & \sqrt{196} \\ = & 14 \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}|} = \frac{14}{\sqrt{5}} = \frac{14}{5} \sqrt{5} \end{array}$

Avstanden fra $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ er $\frac{14}{5} \sqrt{5}$ .

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatene 2, 0 og 0. På linje 2 er B definert med koordinatene 0, 4 og 0. På linje 3 er C definert med koordinatene 0, 0 og 6. På linje 4 er D definert med koordinatene 1, minus 2 og 6. På linje 5 er det skrevet h kolon er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt komma, Vektor parentes C komma A parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt parentes slutt. Svaret er h kolon er lik 14 delt på rota av 5. Skjermutklipp.

b) Finn avstanden fra $B$ til linja gjennom $C$ og $D$ . Hva kan du si om firkanten $A B C D$ ut ifra resultatet i a) og b)?

Løsning

Uten hjelpemidler:

Vi setter $\vec{a} = \vec{C D} = [1, - 2, 0]$ som i a).

$\vec{b} = \vec{C B} = [0 - 0, 4 - 0, 0 - 6] = [0, 4, - 6]$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{a} \times \vec{b} \end{array} & = & [- 2 \cdot (- 6) - 4 \cdot 0, \\ 0 \cdot 0 - (- 6) \cdot 1, \\ 1 \cdot 4 - 0 \cdot (- 2)] \\ = & \begin{array}{l} [12, 6, 4] \end{array} \end{array}$

Dette er det samme resultatet for kryssproduktet som i oppgave a). Avstanden fra $B$ til linja gjennom $C$ og $D$ er derfor den samme som avstanden fra $A$ til linja gjennom $C$ og $D$ , det vil si $\frac{14}{5} \sqrt{5}$ .

Linja gjennom $A$ og $B$ må derfor være parallell med linja gjennom $C$ og $D$ . Firkanten $A B C D$ er derfor et trapes.

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 6 er det skrevet h er lik Lengde parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt komma, Vektor parentes C komma B parentes slutt parentes slutt parentes slutt delt på Lengde parentes Vektor parentes C komma D parentes slutt parentes slutt. Svaret er h er lik 14 delt på rota av 5. Skjermutklipp.

c) Vis ved å bruke vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{C D}$ at $A B C D$ er et trapes.

Løsning

Uten hjelpemidler:

Dersom linja gjennom $A$ og $B$ er parallell med linja gjennom $C$ og $D$ , må vi ha at $\vec{A B} = k \cdot \vec{C D}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [0 - 2, 4 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 2, 4, 0] \\ = & - 2 [1, - 2, 0] \\ = & - 2 \vec{C D} \end{array}$

De to vektorene er dermed parallelle, og $A B C D$ er et trapes.

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 7 er det skrevet Vektor parentes A komma, B parentes slutt er lik k multiplisert med Vektor parentes C komma, D parentes slutt. Svaret med Løs er k er lik minus 2. Skjermutklipp.

Hvordan vet vi egentlig at vektorene er parallelle ut ifra dette? Vi vet det siden likningen har en løsning. Dersom likningen ikke har løsning, finnes det ingen verdi for $k$ som gjør at $\vec{A B} = k \cdot \vec{C D}$ , og da kan ikke vektorene være parallelle.

Oppgave 4

Løs oppgavene uten hjelpemidler først og så med hjelpemidler.

Ei linje $m$ er gitt ved parameterframstillingen

$m : \{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

a) Finn avstanden fra punktet $A (- 3, 2, - 1)$ til $m$ .

Løsning

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom $A$ og et vilkårlig punkt $P$ på $m$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 4 + 2 t - (- 3), 1 + t - 2, - 2 - 2 t - (- 1)] \\ = & [- 1 + 2 t, - 1 + t, - 1 - 2 t] \end{array}$

For at lengden av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mulig, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{m} = [2, 1, - 2]$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} ⊥ {\vec{v}}_{l} \Leftrightarrow \vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} & = & 0 \end{array}$

Dette gir videre

$\begin{array}{rcl} [- 1 + 2 t, - 1 + t, - 1 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 1 + 2 t) \cdot 2 + (- 1 + t) \cdot 1 + (- 1 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 2 + 4 t - 1 + t + 2 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 1 \\ t & = & \frac{1}{9} \end{array}$

Vi setter denne $t$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 1 + 2 \cdot \frac{1}{9}, - 1 + \frac{1}{9}, - 1 - 2 \cdot \frac{1}{9}] = [- \frac{7}{9}, - \frac{8}{9}, - \frac{11}{9}] \\ |\vec{A P}| & = & \sqrt{{(- \frac{7}{9})}^{2} + {(- \frac{8}{9})}^{2} + {(- \frac{11}{9})}^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{49}{81} + \frac{64}{81} + \frac{121}{81}} \\ = & \sqrt{\frac{234}{81}} \\ = & \sqrt{\frac{26}{9}} \\ = & \frac{\sqrt{26}}{3} \end{array}$

Avstanden fra punktet $A$ til linja $m$ er $\frac{\sqrt{26}}{3}$ .

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatene minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er A definert med koordinatene minus 3, 2 og minus 1. På linje 3 er A P av t definert som Vektor parentes A komma r parentes slutt. Svaret er A P av t kolon er lik parentes 2 t minus 1 komma, t minus 1 komma, minus 2 t minus 1 parentes slutt. På linje 4 er A P multiplisert med r derivert av t og satt lik 0. Svaret med Løs er t er lik 1 nidel. På linje 5 er det skrevet Lengde parentes A P parentes HøyreSide parentes dollartegn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 1 tredjedels rota av 26. Skjermutklipp.

I linje 4 setter vi opp skalarproduktet mellom $\vec{A P}$ og retningsvektoren for $m$ , som vi finner ved å derivere r(t), og setter det lik 0.

I linje 5 har vi brukt kommandoen "HøyreSide" for å hente inn $t$ -verdien. På denne måten får vi et mest mulig automatisk oppsett som er enkelt å gjenbruke.

b) Finn avstanden fra origo til $m$ .

Løsning

Uten hjelpemidler:

En generell vektor mellom origo og et vilkårlig punkt $P$ på $m$ er det samme som posisjonsvektoren til $P$ , og vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & [- 4 + 2 t, 1 + t, - 2 - 2 t] \end{array}$

Vi krever at $\vec{O P} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ er ${\vec{v}}_{m}$ er en retningsvektor for $m$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 4 + 2 t, 1 + t, - 2 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 4 + 2 t) \cdot 2 + (1 + t) \cdot 1 + (- 2 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 8 + 4 t + 1 + t + 4 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 3 \\ t & = & \frac{1}{3} \end{array}$

Da får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 4 + 2 \cdot \frac{1}{3}, 1 + \frac{1}{3}, - 2 - 2 \cdot \frac{1}{3}] = [- \frac{10}{3}, \frac{4}{3}, - \frac{8}{3}] \\ |\vec{A P}| & = & \sqrt{{(- \frac{10}{3})}^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2} + {(- \frac{8}{3})}^{2}} \\ = & \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}} \\ = & \sqrt{\frac{180}{9}} \\ = & \sqrt{20} \\ = & 2 \sqrt{5} \end{array}$

Avstanden fra origo til linja $m$ er $2 \sqrt{5}$ .

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatene minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er O definert med koordinatene 0, 0 og 0. På linje 3 er O P av t definert som Vektor parentes O komma r parentes slutt. Svaret er O P av t kolon er lik parentes 2 t minus 4 komma, t pluss 1 komma, minus 2 t minus 2 parentes slutt. På linje 4 er O P multiplisert med r derivert av t og satt lik 0. Svaret med Løs er t er lik 1 tredjedel. På linje 5 er det skrevet Lengde parentes O P parentes HøyreSide parentes dollartegn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 2 rota av 5. Skjermutklipp.

Her har vi gjenbrukt CAS-oppsettet fra oppgave a). Siden punktet er origo, trenger vi strengt tatt ikke lage oss en $\vec{O P}$ , men kan bruke $r (t)$ direkte i beregningene i linje 4 og 5.

c) Finn avstanden fra punktet $B (- 2, 2, - 4)$ til $m$ . Hva betyr resultatet?

Løsning

Uten hjelpemidler:

$\begin{array}{rcl} \vec{B P} & = & [- 4 + 2 t - (- 2), 1 + t - 2, - 2 - 2 t - (- 4)] \\ = & [- 2 + 2 t, - 1 + t, 2 - 2 t] \end{array}$

Vi krever at $\vec{B P} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ der ${\vec{v}}_{m}$ er en retningsvektor for $m$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 2 + 2 t, - 9 + t, - 2 - 2 t] \cdot [2, 1, - 2] & = & 0 \\ (- 2 + 2 t) \cdot 2 + (- 1 + t) \cdot 1 + (2 - 2 t) \cdot (- 2) & = & 0 \\ - 4 + 4 t - 1 + t - 4 + 4 t & = & 0 \\ 9 t & = & 9 \\ t & = & 1 \end{array}$

Da får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{B P} & = & [- 2 + 2 \cdot 1, - 1 + 1, 2 - 2 \cdot 1] = [0, 0, 0] \end{array}$

Lengden av $\vec{0}$ er 0. Avstanden mellom $B$ og $m$ er 0, som må bety at $B$ ligger på linja $m$ .

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatene minus 4 pluss 2 t, 1 pluss t og minus 2 minus 2 t. På linje 2 er B definert med koordinatene minus 2, 2 og minus 4. På linje 3 er B P av t definert som Vektor parentes B komma r parentes slutt. Svaret er B P av t kolon er lik parentes 2 t minus 2 komma, t minus 1 komma, minus 2 t pluss 2 parentes slutt. På linje 4 er B P multiplisert med r derivert av t og satt lik 0. Svaret med Løs er t er lik 1. På linje 5 er det skrevet Lengde parentes B P parentes HøyreSide parentes dollartegn 4 komma, 1 parentes slutt parentes slutt parentes slutt. Svaret er 0. Skjermutklipp.

d) Finn skjæringspunktet mellom linja $m$ og $x y$ -planet.

Løsning

Uten hjelpemidler:

I $x y$ -planet er $z$ -koordinaten lik 0. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} z & = & 0 \\ - 2 - 2 t & = & 0 \\ 2 t & = & - 2 \\ t & = & - 1 \end{array}$

Skjæringspunktet mellom linja $m$ og $x y$ -planet blir

$(- 4 + 2 \cdot (- 1), 1 + (- 1), 0) = (- 6, 0, 0)$

Det betyr at dette punktet også er skjæringspunkt mellom linja og $x z$ -planet siden $y$ -koordinaten også er 0. Det betyr videre at linja har skjæringspunktet $(- 6, 0, 0)$ med $x$ -aksen.

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 6 er det skrevet z av r av t er lik 0. Svaret med Løs er t er lik minus 1. På linje 7 er det skrevet r av minus 1. Svaret er koordinatene minus 6, 0 og 0. Skjermutklipp.

I linje 6 bruker vi kommandoen "z" for å plukke ut $z$ -koordinaten til r(t) og setter den lik 0.

e) Finn skjæringspunktet mellom linja $m$ og $y z$ -planet.

Løsning

Uten hjelpemidler:

I $y z$ -planet er $x$ -koordinaten lik 0. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ - 4 + 2 t & = & 0 \\ 2 t & = & 4 \\ t & = & 2 \end{array}$

Skjæringspunktet mellom linja $m$ og $y z$ -planet blir

$(0, 1 + 2, - 2 - 2 \cdot 2) = (0, 3, - 6)$

Med hjelpemidler:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 8 er det skrevet x av r av t er lik 0. Svaret med Løs er t er lik 2. På linje 9 er det skrevet r av 2. Svaret er koordinatene 0, 3 og minus 6. Skjermutklipp.

Oppgave 5

Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Vi har gitt den rette linja

$l : \{\begin{cases} x = 1 - 2 t \\ y = 4 + t \\ z = 2 \end{cases}$

a) Finn avstanden mellom linja og punktet $A (3, 3, 0)$ .

Løsning

En generell vektor mellom $A$ og et vilkårlig punkt $P$ på $l$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [1 - 2 t - 3, 4 + t - 3, 2 - 0] \\ = & [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \end{array}$

For at lengden av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mulig, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{l} = [- 2, 1, 0]$ .

Vi krever at $\vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} = 0$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \cdot [- 2, 1, 0] & = & 0 \\ (- 2 - 2 t) \cdot (- 2) + (t + 1) \cdot 1 + 2 \cdot 0 & = & 0 \\ 4 + 4 t + t + 1 & = & 0 \\ 5 t & = & - 5 \\ t & = & - 1 \end{array}$

Vi setter denne $t$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [- 2 - 2 t, t + 1, 2] \\ = & [- 2 - 2 \cdot (- 1), - 1 + 1, 2] \\ = & [0, 0, 2] \end{array}$

Siden $\vec{A P}$ bare har én koordinat som er forskjellig fra 0, får vi at $|\vec{A P}| = 2$ .

Avstanden fra punktet $A$ til linja $l$ er 2.

b) Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $x z$ -planet hvis det eksisterer.

Løsning

I $x z$ -planet er $y = 0$ . Skjæringspunktet mellom linja og $x z$ -planet må derfor ha $y$ -koordinaten 0.

$\begin{array}{rcl} y & = & 0 \\ 4 + t & = & 0 \\ t & = & - 4 \end{array}$

Skjæringspunktet er

$(1 - 2 \cdot (- 4), 0, 2) = (9, 0, 2)$

c) Finn skjæringspunktet mellom $l$ og $x y$ -planet hvis det eksisterer.

Løsning

I $x y$ -planet er $z = 0$ . Siden $z$ -koordinaten i parameterframstillingen til linja $l$ er konstant lik 2, har ikke linja noe skjæringspunkt med $x y$ -planet.

d) Hva betyr det at $z$ -koordinaten i parameterframstillingen til $l$ ikke inneholder parameteren $t$ ?

Forklaring

Når $z$ -koordinaten ikke inneholder parameteren, vil avstanden fra $x y$ -planet være konstant lik $z$ -koordinaten. Det betyr at linja er parallell med $x y$ -planet.

e) Vis ved å sette $t = - 1$ i parameterframstillingen for $l$ at avstanden fra punktet $A$ til linja $l$ er 2.

Løsning

Ved å sette $t = - 1$ får vi punktet

$(1 - 2 \cdot (- 1), 4 + (- 1), 2) = (3, 3, 2)$

$A$ har de samme koordinatene bortsett fra $z$ -koordinaten. Det betyr at avstanden mellom $A$ og punktet er lik forskjellen i $z$ -koordinat, det vil si 2. Litt upresist kan vi si at punktet $A$ ligger rett under punktet $(3, 2, 2)$ på linja.

Oppgave 6

Vi har gitt den rette linja $l$ ved

$l : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - t \\ z = s + 2 t \end{cases}$

Bestem $s$ slik at avstanden mellom punktet $A (1, 2, 0)$ og linja er 3. Løs oppgaven uten hjelpemidler først, deretter med hjelpemidler.

Løsning

En generell vektor mellom $A$ og et vilkårlig punkt $P$ på $l$ er

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [2 + t - 1, 3 - t - 2, s + 2 t - 0] \\ = & [t + 1, - t + 1, s + 2 t] \end{array}$

For at lengden av $\vec{A P}$ skal bli så kort som mulig, skal $\vec{A P}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er ${\vec{v}}_{l} = [1, - 1, 2]$ .

Vi krever at $\vec{A P} \cdot {\vec{v}}_{l} = 0$ . Dette gir

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} [t + 1, - t + 1, s + 2 t] \end{array} \cdot [1, - 1, 2] & = & 0 \\ (t + 1) \cdot 1 + (- t + 1) \cdot (- 1) + (s + 2 t) \cdot 2 & = & 0 \\ t + 1 + t - 1 + 2 s + 4 t & = & 0 \\ 6 t & = & - 2 s \\ s & = & - 3 t \end{array}$

Vi setter denne $s$ -verdien inn i uttrykket for $\vec{A P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{A P} & = & [t + 1, - t + 1, - 3 t + 2 t] \\ = & [t + 1, - t + 1, - t] \end{array}$

Lengden av denne vektoren skal være lik 3. Det gir

$\begin{array}{rcl} |\vec{A P}| & = & 3 \\ |[t + 1, - t + 1, - t]| & = & 3 \\ \sqrt{{(t + 1)}^{2} + {(- t + 1)}^{2} + {(- t)}^{2}} & = & 3 \\ \sqrt{t^{2} + 2 t + 1 + t^{2} - 2 t + 1 + t^{2}} & = & 3 \\ \sqrt{3 t^{2} + 2} & = & 3 \\ 3 t^{2} + 2 & = & 9 \\ 3 t^{2} & = & 7 \\ t^{2} & = & \frac{7}{3} \\ t & = & \sqrt{\frac{7}{3}} \lor t = - \sqrt{\frac{7}{3}} \\ t & = & \sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}} \lor t = - \sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}} \\ t & = & \frac{1}{3} \sqrt{21} \lor t = - \frac{1}{3} \sqrt{21} \end{array}$

Vi får da

$\begin{array}{rcl} s & = & - 3 t \\ s & = & - 3 \cdot (- \frac{1}{3} \sqrt{21}) \lor s = - 3 \cdot \frac{1}{3} \sqrt{21} \\ s & = & \sqrt{21} \lor s = - \sqrt{21} \end{array}$

Løsning med CAS:

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er r av t definert med koordinatene 2 pluss t, 3 minus t og s pluss 2 t. På linje 2 er A definert med koordinatene 1, 2 og 0. På linje 3 er A P av t definert som Vektor parentes A komma r parentes slutt. Svaret er A P av t kolon er lik en vektor med koordinatene t pluss 1, minus t pluss 1 og s pluss 2 t. På linje 4 er A P multiplisert med r derivert av t og satt lik 0. Svaret er 2 s pluss 6 t er lik 0. På linje 5 er absoluttverdien av A P satt lik 3. Svaret er rota av parentes s i andre pluss 6 t i andre pluss 4 s t pluss 2 parentes slutt er lik 3. På linje 6 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 4 komma, dollartegn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er s er lik rota av 21 og t er lik minus en tredjedels rota av 21 eller s er lik minus rota av 21 og t er lik en tredjedels rota av 21. Skjermutklipp.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Kurver og flater i rommet

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Oppgave 6

Nedlastbare filer