Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Interaktivt innhold

Video

Plan i rommet

I tillegg til linjer og kurver skal vi blant annet studere plan. Hvordan beskriver vi et plan matematisk?

Definisjon av plan. Normalvektor

Et plan er en plan flate i rommet. En definisjon på et plan er at når ei rett linje går gjennom to punkter i et plan, vil alle punkter på linja ligge i planet.

En annen måte å definere et plan på er at vektorer i alle punkter i planet som står normalt på planet, vil være parallelle. Vektorene $\vec{m}$ og $\vec{n}$ på figuren nedenfor er to slike vektorer. Vi kaller en slik vektor for en normalvektor til planet.

En plan flate med to punkter i flaten. Fra hvert punkt er det reist to vektorer m og n som står normalt på flaten. De to vektorene er parallelle. Illustrasjon.

Dersom vi har to rette, ikke-parallelle linjer som ligger i planet, vil vektorproduktet til retningsvektorene til linjene være en normalvektor til planet.

Koordinatplanene

Tidligere har vi snakket om de tre koordinatplanene: $x y$ -planet, $x z$ -planet og $y z$ -planet.

🤔 Tenk over: Hva kan du si om et punkt i $x y$ -planet?

I et tredimensjonalt koordinatsystem er et punkt med koordinatene 3, 2 og 0 tegnet inn. Punktet ligger i xy-planet. Illustrasjon. — xy-planet med punktet (3,2,0) som ligger i planet

Punkter i xy-planet

Et punkt i $x y$ -planet vil ha koordinatene $(a, b, 0)$ der $a$ og $b$ er fritt valgte konstanter. Med andre ord: Det vi vet om punktet, er at $z = 0$ .

🤔 Tenk over: Hva kan du si om vektorer som er parallelle med eller står normalt på $x y$ -planet?

Vektorer og xy-planet

En vektor som er parallell med $x y$ -planet kan ha mange ulike retninger. Men det er bare to mulige retninger en vektor kan ha slik at den står normalt på $x y$ -planet: positiv og negativ $z$ -retning.

Generelle plan

Nedenfor har vi tegnet et vilkårlig plan i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra. Punktet $A (1, 1, 2)$ ligger i planet. Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Last ned simuleringen her dersom den ikke vises.(GGB)

Plan gitt ved punkt og normalvektor. Likningen for et plan

Som med koordinatplanene er det mange retninger en vektor kan ha som er parallelle med planet, men bare to retninger som står normalt på planet. Vi kan bruke det siste til å komme fram til likningen for planet.

Tredimensjonalt koordinatsystem der et plan alfa er tegnet inn. I planet alfa er det tegnet inn to punkter: P med koordinatene x, y og z og Q med koordinatene x 0, y 0 og z 0. Fra punktet Q er det tegnet en vektor med koordinatene a, b og c som står normalt på vektoren mellom P og Q. Illustrasjon.

La $α$ være et plan i rommet. La videre $Q (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ være et fast punkt i planet og $\vec{n} = [a, b, c]$ en normalvektor til planet, det vil si en vektor som står normalt på planet.

For et vilkårlig punkt $P (x, y, z)$ som ligger i planet, gjelder at $\vec{Q P} ⊥ \vec{n}$ . Det gir oss

$\begin{array}{rcl} \vec{Q P} \cdot \vec{n} & = & 0 \\ [x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}] \cdot [a, b, c] & = & 0 \\ a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \end{array}$

Vi har fått en likning som beskriver planet $α$ . Alle punkter $(x, y, z)$ som tilfredsstiller likningen, ligger i planet.

🤔 Tenk over: Hva trenger vi ut fra dette for å kunne komme fram til likningen for et plan (planlikningen)?

Likningen for et plan

Vi trenger

et punkt i planet
en normalvektor til planet

Vi kan multiplisere ut parentesene og samle de konstante leddene i likningen i én konstant. Da får vi likningen for planet gitt på den mest vanlige formen:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ a x - a x_{0} + b y - b y_{0} + c z - c z_{0} & = & 0 \\ a x + b y + c z - a x_{0} - b y_{0} - c z_{0} & = & 0 \\ a x + b y + c z + d & = & 0 \end{array} \end{array}$

Her har vi satt $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ .

Eksempel

La $\vec{n} = [2, 3, 4]$ være en normalvektor til planet $β$ . Punktet $Q (1, 2, 3)$ ligger i planet. La $P (x, y, z)$ være et vilkårlig punkt i planet. Finn likningen for planet $β$ .

Vi setter tallene direkte inn i likningen for et plan:

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - 1) + 3 (y - 2) + 4 (z - 3) & = & 0 \\ 2 x - 2 + 3 y - 6 + 4 z - 12 & = & 0 \\ 2 x + 3 y + 4 z - 20 & = & 0 \end{array}$

Legg merke til at vi kan lese av koordinatene til normalvektoren $\vec{n} = [2, 3, 4]$ ved å lese av tallene foran $x$ , $y$ og $z$ i likningen for $β$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem der planet beta er tegnet. Punktene P med koordinatene x, y og z og Q med koordinatene 1, 2 og 3 er tegnet inn. Punktene ligger i planet beta. Vektoren n med koordinatene 2, 3 og 4 er tegnet inn og har startpunkt i punktet Q. Vektoren P Q står normalt på vektoren n. Illustrasjon.

Plan gitt ved tre punkter

🤔 Tenk over: Vi har at to punkter definerer ei linje. Hvor mange punkter trengs for å definere et plan, og hvorfor?

Forklaring

Dersom vi har tre punkter som ikke ligger på ei linje, kan vi alltid finne et plan som går gjennom punktene. Det er fordi at av de tre punktene kan vi lage to ikke-parallelle linjer som ligger i planet, og vektorproduktet mellom retningsvektorene til disse vil være en normalvektor til planet. Se definisjonen øverst på siden.

Dersom vi har fire eller flere punkter, er det ikke sikkert at alle punktene ligger i samme plan.

Eksempel

Vi skal finne likningen for et plan $α$ som går gjennom punktene

$A (4, 0, 0), B (2, 3, 0)$ og $C (0, 0, 2)$

Uten hjelpemidler må vi først finne en normalvektor for planet.

Siden $A B$ og $A C$ ligger i planet og $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er retningsvektorer for linjene gjennom $A$ og $B$ og gjennom $A$ og $C$ , vil $\vec{A B} \times \vec{A C}$ være en normalvektor for planet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & [2 - 4, 3 - 0, 0 - 0] \\ = & [- 2, 3, 0] \\ \vec{A C} & = & [0 - 4, 0 - 0, 2 - 0] \\ = & [- 4, 0, 2] \end{array}$

Så må vi regne ut vektorproduktet.

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} \times \vec{A C} & = & [- 2, 3, 0] \times [- 4, 0, 2] \\ = & [3 \cdot 2 - 0 \cdot 0, 0 \cdot (- 4) - 2 \cdot (- 2), (- 2) \cdot 0 - (- 4) \cdot 3] \\ = & [6, 4, 12] \\ = & 2 [3, 2, 6] \end{array}$

$[6, 4, 12]$ og $[3, 2, 6]$ er begge normalvektorer for planet $α$ . Da bruker vi den korteste til å lage planlikningen.

Vi bruker så at likningen for et plan kan skrives som

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

Som punktet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ kan vi bruke et av de tre punktene $A, B$ eller $C$ . Vi velger her å bruke punktet $A (4, 0, 0)$ og får

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 3 (x - 4) + 2 (y - 0) + 6 (z - 0) & = & 0 \\ 3 x + 2 y + 6 z - 12 & = & 0 \end{array}$

Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle de tre punktene passer i planlikningen. Det er ikke mye arbeid og vil avsløre om noe er blitt feil.

For eksempel ser vi at $B (2, 3, 0)$ passer i planlikningen fordi

$3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 6 \cdot 0 - 12 = 6 + 6 - 12 = 0$

Parameterframstilling for plan

Det er mest vanlig å beskrive et plan med en likning slik vi har gjort over, men vi kan også lage en parameterframstilling for planet.

Et plan alfa er dannet av punktene A, B, C og P. P har koordinatene x, y og z. Punktet O ligger i origo og har koordinatene 0,0 og 0. Følgende vektorer er tegnet inn: A B, A C, A P, O A og O P. Illustrasjon.

La $A, B$ og $C$ være tre punkter som ikke ligger på samme rette linje i et plan $α$ . La $P$ være et vilkårlig punkt i planet. Se figuren.

Vi lager oss vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

🤔 Tenk over: Kan vi uttrykke $\vec{A P}$ ved hjelp av vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ og to parametre $s$ og $t$ ?

Forklaring

Svaret er ja. $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle med planet, og en lineær kombinasjon $s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C}$ vil derfor gi en vektor $\vec{A P}$ som også er parallell med planet. Vi kan dermed bestemme hvor $P$ skal ligge ved å justere på $s$ og $t$ .

Vi kan nå finne et uttrykk for $\vec{O P}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \end{array}$

Dette er veldig likt tilsvarende vektorlikning for ei linje. Likningen uttrykker at vi fra punktet $A$ kan nå et hvilket som helst punkt $P$ i planet ved å gå $s$ skritt i retningen til $\vec{A B}$ og $t$ skritt i retningen til $\vec{A C}$ . Likningen beskriver derfor planet $α$ . Dersom vi setter $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{A B} = [a_{1}, b_{1}, c_{1}], \vec{A C} = [a_{2}, b_{2}, c_{2}]$ og $\vec{O P} = [x, y, z]$ , kan vi skrive parameterframstillingen for planet $α$ som

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array}$

ved å dele vektorlikningen opp i tre likninger, én for hver koordinat.

Eksempel

Vi skal uten hjelpemidler finne en parameterframstilling for et plan $α$ som går gjennom punktene

$A (4, 0, 0), B (2, 3, 0)$ og $C (0, 0, 2)$

Dette er det samme planet som vi finner likningen til lenger oppe på siden, der vi har at

$\vec{A B} = [- 2, 3, 0], \vec{A C} = [- 4, 0, 2]$

Nå kan vi enten gå veien om vektorfunksjonen for planet eller gå rett på parameterframstillingen. Vi viser begge framgangsmåtene. Vektorfunksjonen for planet $α$ blir

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \\ = & [4, 0, 0] + s [- 2, 3, 0] + t [- 4, 0, 2] \\ = & [4 - 2 s - 4 t, 0 + 3 s + 0, 0 + 0 + 2 t] \\ = & [4 - 2 s - 4 t, 3 s, 2 t] \end{array}$

Når vi har vektorfunksjonen, har vi samtidig parameterframstillingen, akkurat som for ei linje. Alternativt kan vi finne parameterframstillingen ved å sette rett inn i den generelle parameterframstillingen over.

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array} = {\begin{array}{rcl} x & = & 4 + s \cdot (- 2) + t \cdot (- 4) \\ y & = & 0 + s \cdot 3 + t \cdot 0 \\ z & = & 0 + s \cdot 0 + t \cdot 2 \end{array} = {\begin{array}{rcl} x & = & 4 - 2 s - 4 t \\ y & = & 3 s \\ z & = & 2 t \end{array}$

🤔 Tenk over: Kan vi finne to vektorer som er parallelle med planet direkte ut ifra parameterframstillingen?

Forklaring

Ja. På tilsvarende måte som vi kan lese en retningsvektor for ei linje direkte ut fra parameterframstillingen for linja, kan vi lese ut to vektorer som er parallelle med planet ved å se på koeffisientene foran $s$ -leddene og foran $t$ -leddene.

Koeffisientene foran $s$ -leddene gir vektoren $[- 2, 3, 0]$ . Koeffisientene foran $t$ -leddene gir vektoren $[- 4, 0, 2]$ . Dette er vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ som vi startet med.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi finne likningen for et plan ut ifra en parameterframstilling for planet?

Forklaring

Finn to vektorer som er parallelle med planet ved å lese direkte av parameterframstillingen.
Finn en normalvektor til planet ved å regne ut vektorproduktet mellom de to vektorene.
Finn et punkt i planet ved å velge $s = 0$ og $t = 0$ i parameterframstillingen.
Sett koordinatene til normalvektoren og punktet inn i den generelle planlikningen.

Prøv denne framgangsmåten og se om du kommer fram til riktig likning for planet $α$ !

Tegne plan med GeoGebra

Plan ut ifra planlikning

Dersom vi skriver en planlikning inn i algebra- eller CAS-feltet, vil GeoGebra tegne planet. Vi skriver

α:3x+2y+6z-12=0

for å tegne planet $α$ i eksempelet over ut ifra planlikningen.

Plan ut ifra parameterframstilling

Vi kan skrive inn en vektorfunksjon for planet $α$ i eksempelet som en funksjon av både $s$ og $t$ . I CAS skriver vi

α(s,t):=(4-2s-4t,3s,2t)

Plan ut ifra punkt og normalvektor

Vi skriver først inn punktet og kaller det for eksempel A. Så skriver vi inn normalvektoren og kaller den for eksempel n. Kommandoen for å tegne planet $α$ i eksempelet over blir

α:Normalplan(A,n)

Plan ut ifra tre punkter

Dersom vi går ut ifra tre punkter, skriver vi først inn punktene og bruker kommandoen

α:Plan(A,B,C)

dersom punktene heter $A, B$ og $C$ .

Vi kan også bruke verktøyknappen for et plan ut ifra tre punkter.

Tredimensjonalt koordinatsystem der det er tegnet tre punkter. Det er A med koordinatene 4, 0 og 0, B med koordinatene 2, 3 og 0 og C med koordinatene 0, 0 og 2. Et plan alfa går gjennom de tre punktene. Illustrasjon.

Vær oppmerksom på at det finnes en kommando Plan(punkt,vektor,vektor) der planet lages ut fra et punkt i planet og to vektorer som er parallelle med planet. Denne kommandoen fungerer bare i algebrafeltet. I CAS feiltolker GeoGebra vektorene som punkter, og vi får et helt annet plan enn det vi ber om.

Oppsummering

$a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) = 0$

er den generelle likningen for et plan $α$ som går gjennom punktet $Q (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ og har normalvektor $\vec{n} = [a, b, c]$ .

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi en likning gitt på formen

$a x + b y + c z + d = 0$

der

$d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$

Har vi gitt tre punkter $A, B$ og $C$ som ikke ligger på samme rette linje, vil $\vec{A B} \times \vec{A C}$ være en normalvektor til planet gjennom de tre punktene.

En vektorfunksjon for planet $α$ gjennom punktene $A, B$ og $C$ vil være på formen

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \end{array}$

der $s$ og $t$ er to vilkårlige parametre.

Dersom vi setter $A = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), \vec{A B} = [a_{1}, b_{1}, c_{1}], \vec{A C} = [a_{2}, b_{2}, c_{2}]$ og $\vec{O P} = [x, y, z]$ , kan vi skrive parameterframstillingen for planet $α$ som

$α : {\begin{array}{rcl} x & = & x_{0} + s a_{1} + t a_{2} \\ y & = & y_{0} + s b_{1} + t b_{2} \\ z & = & z_{0} + s c_{1} + t c_{2} \end{array}$

Video om plan gitt ved punkt og normalvektor

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om plan gitt ved tre punkter

Legg merke til at i videoen blir kryssproduktet regnet ut på en litt annen måte enn det vi pleier å gjøre.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om parameterframstilling for et plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video som viser eksempel på en parameterframstilling for et plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0