Skjæring og vinkel mellom to plan

$xy$-planet og $yz$-planet skjærer hverandre i $y$-aksen. Planene står normalt på hverandre siden alle koordinatplanene gjør det.

Likningen for $xy$-planet er $z=0$, og planet har normalvektoren ${\overrightarrow{n}}_{xy}={\overrightarrow{e}}_z=\left[0,0,1\right]$. Likningen for $yz$-planet er $x=0$, og planet har normalvektoren ${\overrightarrow{n}}_{yz}={\overrightarrow{e}}_x=\left[1,0,0\right]$. En retningsvektor for skjæringslinja blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{xy}\times {\overrightarrow{n}}_{yz}\\ & =& \left[0,0,1\right]\times \left[1,0,0\right]\\ & =& \left[0·0-0·1,1·1-0·0,0·0-1·0\right]\\ & =& \left[0,1,0\right]\\ (& =& {\overrightarrow{e}}_y)\end{array}$

For å finne et punkt på linja velger vi $y=0$. De to planlikningene krever at $x=z=0$. Origo er derfor et punkt på skjæringslinja. En parameterframstilling for linja er derfor

$l:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=0\end{array}\right.$

Vi finner vinkelen $w$ mellom planene ved å finne skalarproduktet mellom ${\overrightarrow{n}}_{xy}$ og ${\overrightarrow{n}}_{yz}$.

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{xy}·{\overrightarrow{n}}_{yz}}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[0,0,1\right]·\left[1,0,0\right]}{\left|\left[0,0,1\right]\right|·\left|\left[1,0,0\right]\right|}\\ & =& \frac{0·1+0+0·0+1·0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}·\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\\ & =& \frac{0}{1}\\ & =& 0\\ w & =& \frac{\pi }{2} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{2}}\end{array}$

Vinkelen mellom planene er $\frac{\pi }{2}$.

Det kan være lurt å starte med å finne vinkelen mellom planene i tilfelle planene er parallelle.

Normalvektorene til planene er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[1,1,0\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[1,0,1\right]$

Vinkelen $w$ mellom planene er det samme som vinkelen mellom normalvektorene. Fra formelen for skalarproduktet får vi

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{\alpha }·{\overrightarrow{n}}_{\beta }}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[1,1,0\right]·\left[1,0,1\right]}{\left|\left[1,1,0\right]\right|·\left|\left[1,0,1\right]\right|}\\ & =& \frac{1·1+1·0+0·1}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}·\sqrt{1^2+0^2+1^2}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}·\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\\ w & =& \frac{\pi }{3} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{3}}\end{array}$

En retningsvektor $\overrightarrow{v}$ for skjæringslinja $l$ er

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{\alpha }\times {\overrightarrow{n}}_{\beta }\\ & =& \left[1,1,0\right]\times \left[1,0,1\right]\\ & =& \left[1·1-0·0,0·1-1·1,1·0-1·1\right]\\ & =& \left[1,-1,-1\right]\end{array}$

For å finne et punkt på linja starter vi med å velge $x=0$. Den første planlikningen gir da

$\begin{array}{rcl}0+y-3 & =& 0\\ y & =& 3\end{array}$

Den andre planlikningen gir

$\begin{array}{rcl}0+z-1 & =& 0\\ z & =& 1\end{array}$

Et punkt på linja er derfor $\left(0,3,1\right)$. En parameterframstilling for skjæringslinja $l$ mellom planene blir

$l:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3-t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Normalvektorene til planene er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[3,2,2\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[-6,-4,-4\right]=-2\left[3,2,2\right]=-2{\overrightarrow{n}}_{\alpha }$

Normalvektorene til planene er parallelle, så vinkelen mellom planene er 0. Hvis vi multipliserer planlikningen til $\alpha$ med $-2$, får vi

$\begin{array}{rcl}-2\left(3x+2y+2z-1\right) & =& -2·0\\ -6x-4y-4z+2 & =& 0\end{array}$

Planlikningene er like med unntak av de konstante leddene. Det betyr at planene er parallelle, men ikke sammenfallende. De har derfor ingen skjæringslinje.

Normalvektorene til planene er

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[1,2,2\right], {\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[1,0,1\right]$

Vinkelen $w$ mellom planene blir

$\begin{array}{rcl}\cos w & =& \frac{{\overrightarrow{n}}_{\alpha }·{\overrightarrow{n}}_{\beta }}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|·\left|{\overrightarrow{n}}_{\beta }\right|}\\ & =& \frac{\left[1,2,2\right]·\left[1,0,1\right]}{\left|\left[1,2,2\right]\right|·\left|\left[1,0,1\right]\right|}\\ & =& \frac{1·1+2·0+2·1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}·\sqrt{1^2+0^2+1^2}}\\ & =& \frac{3}{\sqrt{9}·\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ & =& \frac{1}{2}\sqrt{2}\\ w & =& \frac{\pi }{4} \vee \cancel{w=2\pi -\frac{\pi }{4}}\end{array}$

En retningsvektor $\overrightarrow{v}$ for skjæringslinja $l$ er

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{v} & =& {\overrightarrow{n}}_{\alpha }\times {\overrightarrow{n}}_{\beta }\\ & =& \left[1,2,2\right]\times \left[1,0,1\right]\\ & =& \left[2·1-0·2,2·1-1·1,1·0-1·2\right]\\ & =& \left[2-0,2-1,0-2\right]\\ & =& \left[2,1,-2\right]\end{array}$

For å finne et punkt på linja starter vi med å velge $x=0$. Den første planlikningen gir da

$\begin{array}{rcl}0+2y+2z-5 & =& 0\\ 2y & =& 5-2z\\ y & =& \frac{5}{2}-z\end{array}$

Den andre planlikningen gir

$\begin{array}{rcl}0+z-3 & =& 0\\ z & =& 3\end{array}$

Da kan vi regne ut $y$:

$y=\frac{5}{2}-z=\frac{5}{2}-3=\frac{5}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{1}{2}$

Et punkt på linja er derfor $\left(0,-\frac{1}{2},3\right)$. En parameterframstilling for skjæringslinja $l$ mellom planene blir

$l:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-\frac{1}{2}+t\\ z=3-2t\end{array}\right.$

Som i oppgave a) observerer vi at normalvektorene til planene er parallelle. Hvis vi multipliserer planlikningen til $\alpha$ med $-3$, får vi

$\begin{array}{rcl}-3\left(-x+3y-4z-4\right) & =& -3·0\\ 3x-9y+12z+12 & =& 0\end{array}$

Planlikningene er like. Det betyr at $\alpha$ og $\beta$ er samme plan. De har derfor ingen skjæringslinje, og vinkelen mellom planene er 0.

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=\frac{5}{3}+t\\ z=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vinkelen mellom planene er 1,13.

Her får vi ingen løsning i linje 9 dersom vi lager likningssettet ved å sette $x=0$ i linje 7 og 8. Vi har derfor valgt å sette $y=0$.

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3t\\ z=-2+5t\end{array}\right.$

Vinkelen mellom planene er 0,24.

Vi får at en parameterframstilling for skjæringslinja er

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{7}-11t\\ y=-7t\\ z=-\frac{5}{7}+5t\end{array}\right.$

Vinkelen mellom planene er 1,5.

Skjæringen mellom tre plan må være punkter som ligger i alle tre planene. De tre planlikningene utgjør et likningssett av tre likninger med tre ukjente der løsningen er disse punktene. Løsningen vil være ett punkt dersom ingen av planene er parallelle med hverandre.

De tre planlikningene utgjør et likningssett med tre ukjente. Vi løser likningssettet med CAS.

De tre planene skjærer hverandre i punktet $\left(\frac{7}{24},\frac{11}{24},-\frac{25}{24}\right)$.

Vi starter med å skrive inn de to planene. Så definerer vi vektorproduktet av normalvektorene som en funksjon av $\overrightarrow{v}\left(a\right)$ i linje 3. I linje 4 krever vi at $\overrightarrow{v}\left(a\right)$ er parallell med retningsvektoren $\left[1,0,1\right]$, som vi leser ut av parameterframstillingen til $l$. Da får vi løsningen $a=2$. Vi må sjekke at punktet $\left(0,-2,-1\right)$, som vi leser ut av parameterframstillingen på linja, ligger i begge planene. Det gjør vi på linje 5 og 6, og punktet ligger i begge planene.