Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Video

Avstanden fra et punkt til et plan

Vi kan finne avstanden fra et punkt til et plan på flere måter. Her skal vi se på to framgangsmåter, og den ene ender opp med en formel.

Tolkning av avstanden mellom et punkt og et plan

Tidligere har vi blant annet funnet avstand mellom et punkt i rommet og ei linje. Her skal vi finne avstanden mellom et punkt og et plan.

🤔 Tenk over: Hva tror du vi mener med avstanden fra et punkt til et plan?

Forklaring

Akkurat som når vi finner avstanden mellom et punkt og ei linje eller avstanden mellom to linjer, er det den kortest mulige avstanden mellom et punkt og et plan vi mener med "avstanden fra et punkt til et plan". Da må forbindelseslinja mellom punktet og det nærmeste punktet i planet stå normalt på planet, det vil si være parallell med normalvektoren til planet.

Avstand med normal fra punktet til planet

Vi skal regne ut avstanden fra punktet $A (2, - 8, 7)$ til planet $β$ gitt ved

$2 x + 3 y - z - 1 = 0$

Framgangsmåten er slik: Vi tenker oss at vi feller ned en normal $n$ fra punktet $A$ til planet. Hvis vi finner en parameterframstilling for normalen, kan vi finne koordinatene til skjæringspunktet $S$ mellom planet og normalen. Se figuren nedenfor.

I et tredimensjonalt koordinatsystem er planet beta tegnet inn. Et punkt S ligger i planet. Et punkt A ligger utenfor planet. Vektoren mellom S og A står normalt på planet. Vektoren sammenfaller med linja mellom S og A, som også er tegnet inn. Illustrasjon.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi bruke $\vec{S A}$ til å finne avstanden fra $A$ til $β$ ?

Forklaring

Avstanden vi er på jakt etter, vil være lengden av vektoren fra $S$ til $A$ , $|\vec{S A}|$ .

Vektoren ${\vec{n}}_{β} = [2, 3, - 1]$ er en normalvektor til $β$ . Da er den også en retningsvektor for normalen $n$ som går gjennom $A$ og står vinkelrett på $β$ .

Vi har nå både en retningsvektor til normalen $n$ og et punkt på normalen. En parameterframstilling for normalen er da

$n : {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 8 + 3 t \\ z = 7 - t \end{cases}$

For å finne skjæringspunktet $S$ mellom $n$ og $β$ , gjør vi som på teorisiden "Skjæring og vinkel mellom linje og plan": Vi setter parameteruttrykkene for $n$ inn i likningen for $β$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y - z - 1 & = & 0 \\ 2 (2 + 2 t) + 3 (- 8 + 3 t) - (7 - t) - 1 & = & 0 \\ 4 + 4 t - 24 + 9 t - 7 + t - 1 & = & 0 \\ 14 t - 28 & = & 0 \\ t & = & 2 \end{array}$

Vi setter $t = 2$ i parameterframstillingen og får

$x = 2 + 2 \cdot 2 = 6 \land y = - 8 + 3 \cdot 2 = - 2 \land z = 7 - 2 = 5$

Skjæringspunktet $S$ har derfor koordinatene $(6, - 2, 5)$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{S A} & = & [2 - 6, (- 8) - (- 2), 7 - 5] \\ = & [- 4, - 6, 2] \end{array}$

På figuren nedenfor har vi tegnet planet og de andre elementene vi har brukt, i GeoGebra.

Tredimensjonalt koordinatsystem som viser planet gitt ved likningen 2 x pluss 3 y minus z minus 1 er lik null og punktet A gitt ved koordinatene 2, minus 8 og 7. Figuren inneholder også den vektoren som viser avstanden fra punktet A til planet, og på figuren er det markert at vektoren står normalt på planet. Ei linje n gjennom S og A er også tegnet inn. Illustrasjon. — Avstanden fra et punkt A til et plan

Avstanden fra $A$ til planet er

$\begin{array}{rcl} |\vec{S A}| & = & \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 6)}^{2} + 2^{2}} \\ = & \sqrt{56} = 2 \sqrt{14} \end{array}$

Avstandsformelen. Avstand ved hjelp av skalarprodukt

I et tredimensjonalt koordinatsystem er planet beta tegnet inn. Et punkt S med koordinatene x, y og z ligger i planet. Et punkt P med koordinatene x 1, y 1 og z 1 ligger utenfor planet. En vektor n er tegnet i punktet S og står normalt på planet. Vektoren sammenfaller med linja mellom S og P. I tillegg er informasjonen at S P vektor har koordinatene x 1 minus x, y 1 minus y og z 1 minus z gitt. Illustrasjon.

Vi starter med et vilkårlig punkt $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og et vilkårlig plan $β$ gitt ved

$a x + b y + c z + d = 0$

La $S (x, y, z)$ være det punktet i planet som er nærmest $P$ . Se figuren. Vi ønsker å finne avstanden $q$ mellom punktet $P$ og $β$ som blir lik $|\vec{S P}|$ .

Siden $S (x, y, z)$ ligger i planet, har vi at

$\begin{array}{rcl} a x + b y + c z + d & = & 0 \end{array}$

Vi har også at $\vec{n} = [a, b, c]$ er normalvektor til planet.

Vi bruker at vi kan finne skalarproduktet av $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ på to måter til å sette opp en likning. Vi bruker definisjonen på skalarproduktet og skalarproduktet med vektorkoordinater.

Hvis vi regner ut skalarproduktet med vektorkoordinater, får vi

$\vec{S P} \cdot \vec{n} = [x_{1} - x, y_{1} - y, z_{1} - z] \cdot [a, b, c]$

Hvis vi bruker definisjonen på skalarproduktet, får vi

$\vec{S P} \cdot \vec{n} = |\vec{S P}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos u$

Setter vi den andre likningen inn i den første og bruker at $q = |\vec{S P}|$ , får vi

$\begin{array}{rcl} q \cdot |\vec{n}| \cdot \cos u & = & [x_{1} - x, y_{1} - y, z_{1} - z] \cdot [a, b, c] \\ q \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u & = & a x_{1} - a x + b y_{1} - b y + c z_{1} - c z \\ = & a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} - (a x + b y + c z) \\ = & a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d \\ q & = & \frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u} \end{array}$

Uttrykket på høyre side er alltid positivt, for dersom skalarproduktet i telleren er negativt, vil også $\cos u$ være negativ.

🤔 Tenk over: Hva er vinkelen $u$ mellom $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ ? Hva betyr det for $\cos u$ ?

Forklaring

Siden både $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ er normalvektorer til planet $β$ , er de parallelle. Da er $u = 0 \lor u = π$ . Det betyr at $\cos u = 1 \lor \cos u = - 1$ .

Vi ønsker å kvitte oss med faktoren $\cos u$ i nevneren siden vi ikke enkelt kan se om $\cos u = 1$ eller $\cos u = - 1$ . Vi får til det dersom vi tar absoluttverdien av uttrykket på høyre side over. Vi får

$\begin{array}{rcl} q & = & |\frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u}| \\ = & |\frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}| \cdot \frac{1}{|\cos u|} \\ = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \cdot 1 \\ = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \end{array}$

🤔 Tenk over: Kan du forklare med ord hva denne formelen uttrykker?

Forklaring

Formelen sier at når vi skal finne avstanden mellom et punkt og et plan, skal vi sette koordinatene til punktet inn i likningen til planet, regne ut og dele på lengden til den normalvektoren til planet vi finner ved å lese av $a, b$ og $c$ i planlikningen.

Eksempel

Vi bruker formelen og regner ut avstanden fra punktet $A (2, - 8, 7)$ til planet $β$ gitt ved

$2 x + 3 y - z - 1 = 0$

Vi får

$\begin{array}{rcl} q & = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ = & \frac{|2 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) + (- 1) \cdot 7 + (- 1)|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}}} \\ = & \frac{|4 - 24 - 7 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \\ = & \frac{|- 28|}{\sqrt{14}} \\ = & \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ = & \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{14} \\ = & 2 \sqrt{14} \end{array}$

Avstanden fra et punkt til et plan med GeoGebra

I GeoGebra kan vi enkelt finne avstanden ved å bruke kommandoen "Avstand(Punkt, Objekt)". Nedenfor har vi funnet avstanden i eksempelet over med CAS.

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatene 2, minus 8 og 7. På linje 2 er beta definert som 2 x pluss 3 y minus z minus 1 er lik 0. På linje 3 er kommandoen Avstand med argumentene A og beta skrevet inn. Svaret er 2 rota av 14. Skjermutklipp.

Video om avstanden ved å bruke en normal fra punktet til planet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om avstanden ved å bruke skalarprodukt og om avstandsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om eksempel på bruk av avstandsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0