Parameterframstillinger for linjer og kurver i rommet

Parameterframstilling for ei rett linje

Rett linje i tre dimensjoner

Den interaktive figuren nedenfor viser ei rett linje i et tredimensjonalt koordinatsystem. Det er to punkter $A$ og $B$ på linja. Du kan dra i bildet for å se linja fra forskjellige kanter.

• Last ned figuren her hvis den ikke vises.(GGB)

Posisjonsvektoren for et punkt på linja

Vi ønsker å beskrive denne linja matematisk. I to dimensjoner kan vi beskrive ei rett linje med én likning: formelen $y=ax+b$ der $a$ og $b$ er konstanter. Det går ikke an å sette opp én tilsvarende likning for ei linje i tre dimensjoner.

Vi kan bruke vektorer til å beskrive linja matematisk. Gitt to punkter $A$ og $B$. La $P$ være et vilkårlig punkt på linja gjennom $A$ og $B$. Da vil det alltid finnes en skalar $t$ slik at

$\overrightarrow{AP}=t·\overrightarrow{AB}$

Vi kan få punktet $P$ til å flytte seg hvor som helst på linja ved å velge riktig verdi for $t$. Posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$ til punktet $P$ kan vi skrive ved hjelp av posisjonsvektoren $\overrightarrow{OA}$ til punktet $A$ som

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ & =& \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\end{array}$

Når vi endrer verdien på $t$ gradvis, vil $P$ flytte seg langs linja. Da har vi funnet den matematiske beskrivelsen av linja som vi var på jakt etter. Vi kaller $\overrightarrow{OP}$ for posisjonsvektoren som beskriver linja gjennom $A$ og $B$.

Tenk over

Fins det bare én unik posisjonsvektor som beskriver linja gjennom $A$ og $B$?

Retningsvektor

Legg merke til at $\overrightarrow{AB}$ er en vektor som er parallell med linja gjennom $A$ og $B$. Vi sier derfor at $\overrightarrow{AB}$ er en retningsvektor for linja. Vi kan bruke hvilken som helst vektor som er parallell med linja som retningsvektor for linja.

Eksempel

Ei linje $l$ går gjennom punktene $A\left(3, 4, 2\right)$ og $B\left(5, 8, 10\right)$.

En posisjonsvektor $\overrightarrow{OP}$ for linja $l$ er

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[5-3, 8-4, 10-2\right]\\ & =& \left[3, 4, 2\right]+t\left[2, 4, 8\right]\\ & =& \left[3+2t, 4+4t, 2+8t\right]\end{array}\end{array}$

Parameterframstilling

I stedet for å beskrive linja ved hjelp av vektorer kan vi bruke en parameterframstilling av linja. Den tilsvarende parameterframstillingen for linja over blir

$x=3+2t, y=4+4t, z=2+8t$

Dette inneholder den samme informasjonen om linja som posisjonsvektoren $\overrightarrow{OP}$, men er skrevet på en annen måte uten vektornotasjon. Parameterframstillingen av linja kan også skrives slik:

$l:\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=4+4t\\ z=2+8t\end{array}\right.$

Tenk over

Kan du tenke deg hvorfor parameterframstillingen i eksempelet over gir ei rett linje?

Parameterframstilling ut fra punkt og retningsvektor

I stedet for å kjenne to punkter på ei linje er det nok å kjenne ett punkt $A\left(x_0,y_0,z_0\right)$ på linja og en retningsvektor $\overrightarrow{v_l}=\left[a,b,c\right]$ for linja.

En posisjonsvektor for denne linja blir

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& = & \overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{v_l}\\ & =& \left[x_0, y_0, z_0\right]+t·\left[a, b, c\right]\\ & =& \left[x_0+at, y_0+bt, z_0+ct\right]\end{array}$

Den tilsvarende parameterframstillingen for linja blir

$x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$

eller

$l:\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$

Test deg selv

Ei rett linje $l$ går gjennom punktet $\left(-2,5,1\right)$. Vektoren $\left[3,2,-4\right]$ er parallell med linja.

Kan du skrive opp en parameterframstilling for linja?

Eksempel

Ei rett linje $l$ er gitt ved parameterframstillingen

$l:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3t\\ z=1-t\end{array}\right.$

Vi skal finne en retningsvektor til linja $l$ og et punkt på linja.

For å finne retningsvektoren må vi lese av koeffisientene $a, b$ og $c$ foran $t$-leddene. Vi får at retningsvektoren er $\left[2,3,-1\right]$.

Et punkt på linja finner vi enklest ved å lese av $x_0,y_0$ og $z_0$ i parameterframstillingen. Et punkt på linja blir derfor $\left(-1,0,1\right)$.

Vi kan også finne et punkt på linja ved å sette en bestemt $t$-verdi inn i parameterframstillingen. Ved å velge $t=1$ får vi punktet

$\left(-1+2·1,3·1,1-1\right)=\left(1,3,0\right)$

Tenk over

Når vi finner punktet på linja ved å lese av $x_0,y_0$ og $z_0$ , har vi egentlig valgt en bestemt $t$-verdi. Hvilken?

Grafisk framstilling av linjer

GeoGebra

Det er vanskelig å lage skisser for hånd av rette linjer i tre dimensjoner. I GeoGebra får vi tegnet linja i eksempelet over ved å bruke kommandoen "Kurve". Vi velger å kalle kurven $r$ og tegne den for $t\in \left[0,5\right]$. I algebrafeltet kan vi da skrive

r=Kurve(-1+2t,3t,1-t,t,0,5)

I kommandoen skriver vi først inn vektorkoordinatene, så må vi angi at det er $t$ som er parameteren. Til slutt skriver vi inn grensene for $t$, som er 0 og 5. Det er verdt å nevne at vi må ha med disse grensene når vi bruker kommandoen "Kurve". Hvis den aktuelle oppgaven eller situasjonen ikke gir en avgrensning, må vi derfor velge en.

For å tegne punktet på linja der $t=0$ kan vi skrive

A=r(0)

Kurver i rommet

Dersom en eller flere av likningene i en parameterframstilling ikke er av første grad, vil generelt ikke parameterframstillingen gi ei rett linje, men en kurve som bøyer seg.

Eksempel

Vi har gitt parameterframstillingen

$k:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+2\\ z=t^2-1\end{array}\right.$

På bildet har vi brukt parameterframstillingen og kommandoen "Kurve" til å tegne en kurve for $t\in \left[0,3\right]$. Som bildet viser, får vi ikke ei rett linje, men en parabelformet kurve.

Prøv selv

Bruk parameterframstillingen

$x=2\sin t, y=2\cos t, z=0.2t$

til å tegne en kurve for $t\in \left[0,6\pi \right]$. Hva får du?

Video om parameterframstilling for ei rett linje