Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Video

Avstanden frå eit punkt til eit plan

Vi kan finne avstanden frå eit punkt til eit plan på fleire måtar. Her skal vi sjå på to framgangsmåtar, og den eine endar opp med ein formel.

Tolking av avstanden mellom eit punkt og eit plan

Tidlegare har vi mellom anna funne avstand mellom eit punkt i rommet og ei linje. Her skal vi finne avstanden mellom eit punkt og eit plan.

🤔 Tenk over: Kva trur du vi meiner med avstanden frå eit punkt til eit plan?

Forklaring

Akkurat som når vi finn avstanden mellom eit punkt og ei linje eller avstanden mellom to linjer, er det den kortast moglege avstanden mellom eit punkt og eit plan vi meiner med "avstanden frå eit punkt til eit plan". Då må samanbindingslinja mellom punktet og det næraste punktet i planet stå normalt på planet, det vil seie vere parallell med normalvektoren til planet.

Avstand med normal frå punktet til planet

Vi skal rekne ut avstanden frå punktet $A (2, - 8, 7)$ til planet $β$ gitt ved

$2 x + 3 y - z - 1 = 0$

Framgangsmåten er slik: Vi tenker oss at vi feller ned ein normal $n$ frå punktet $A$ til planet. Dersom vi finn ei parameterframstilling for normalen, kan vi finne koordinatane til skjeringspunktet $S$ mellom planet og normalen. Sjå figuren nedanfor.

I eit tredimensjonalt koordinatsystem er planet beta teikna inn. Eit punkt S ligg i planet. Eit punkt A ligg utanfor planet. Vektoren mellom S og A står normalt på planet. Vektoren fell saman med linja mellom S og A, som også er teikna inn. Illustrasjon.

🤔 Tenk over: Korleis kan vi bruke $\vec{S A}$ til å finne avstanden frå $A$ til $β$ ?

Forklaring

Avstanden vi er på jakt etter, vil vere lengda av vektoren frå $S$ til $A$ , $|\vec{S A}|$ .

Vektoren ${\vec{n}}_{β} = [2, 3, - 1]$ er ein normalvektor til $β$ . Då er han òg ein retningsvektor for normalen $n$ som går gjennom $A$ og står vinkelrett på $β$ .

No har vi både ein retningsvektor til normalen $n$ og eit punkt på normalen. Ei parameterframstilling for normalen er då

$n : {\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 8 + 3 t \\ z = 7 - t \end{cases}$

For å finne skjeringspunktet $S$ mellom $n$ og $β$ , gjer vi som på teorisida "Skjering og vinkel mellom linje og plan": Vi set parameteruttrykka for $n$ inn i likninga for $β$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 y - z - 1 & = & 0 \\ 2 (2 + 2 t) + 3 (- 8 + 3 t) - (7 - t) - 1 & = & 0 \\ 4 + 4 t - 24 + 9 t - 7 + t - 1 & = & 0 \\ 14 t - 28 & = & 0 \\ t & = & 2 \end{array}$

Vi set $t = 2$ i parameterframstillinga og får

$x = 2 + 2 \cdot 2 = 6 \land y = - 8 + 3 \cdot 2 = - 2 \land z = 7 - 2 = 5$

Skjeringspunktet $S$ har derfor koordinatane $(6, - 2, 5)$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{S A} & = & [2 - 6, (- 8) - (- 2), 7 - 5] \\ = & [- 4, - 6, 2] \end{array}$

På figuren nedanfor har vi teikna planet og dei andre elementa vi har brukt, i GeoGebra.

Tredimensjonalt koordinatsystem som viser planet gitt ved likninga 2 x pluss 3 y minus z minus 1 er lik null og punktet A gitt ved koordinatane 2, minus 8 og 7. Figuren inneheld også den vektoren som viser avstanden frå punktet A til planet, og på figuren er det markert at vektoren står normalt på planet. Ei linje n gjennom S og A er også teikna inn. Illustrasjon. — Avstanden frå eit punkt A til eit plan

Avstanden frå $A$ til planet er

$\begin{array}{rcl} |\vec{S A}| & = & \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 6)}^{2} + 2^{2}} \\ = & \sqrt{56} = 2 \sqrt{14} \end{array}$

Avstandsformelen. Avstand ved hjelp av skalarprodukt

I eit tredimensjonalt koordinatsystem er planet beta teikna inn. Eit punkt S med koordinatane x, y og z ligg i planet. Eit punkt P med koordinatane x 1, y 1 og z 1 ligg utanfor planet. Ein vektor n er teikna i punktet S og står normalt på planet. Vektoren fell saman med linja mellom S og P. I tillegg er informasjonen at S P vektor har koordinatane x 1 minus x, y 1 minus y og z 1 minus z gitt. Illustrasjon.

Vi startar med eit vilkårleg punkt $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og eit vilkårleg plan $β$ gitt ved

$a x + b y + c z + d = 0$

La $S (x, y, z)$ vere det punktet i planet som er nærast $P$ . Sjå figuren. Vi ønsker å finne avstanden $q$ mellom punktet $P$ og $β$ som blir lik $|\vec{S P}|$ .

Sidan $S (x, y, z)$ ligg i planet, har vi at

$\begin{array}{rcl} a x + b y + c z + d & = & 0 \end{array}$

Vi har òg at $\vec{n} = [a, b, c]$ er normalvektor til planet.

Vi bruker at vi kan finne skalarproduktet av $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ på to måtar til å setje opp ei likning. Vi bruker definisjonen på skalarproduktet og skalarproduktet med vektorkoordinatar.

Dersom vi reknar ut skalarproduktet med vektorkoordinatar, får vi

$\vec{S P} \cdot \vec{n} = [x_{1} - x, y_{1} - y, z_{1} - z] \cdot [a, b, c]$

Dersom vi bruker definisjonen på skalarproduktet, får vi

$\vec{S P} \cdot \vec{n} = |\vec{S P}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos u$

Set vi den andre likninga inn i den første og bruker at $q = |\vec{S P}|$ , får vi

$\begin{array}{rcl} q \cdot |\vec{n}| \cdot \cos u & = & [x_{1} - x, y_{1} - y, z_{1} - z] \cdot [a, b, c] \\ q \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u & = & a x_{1} - a x + b y_{1} - b y + c z_{1} - c z \\ = & a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} - (a x + b y + c z) \\ = & a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d \\ q & = & \frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u} \end{array}$

Uttrykket på høgre side er alltid positivt, for dersom skalarproduktet i teljaren er negativt, vil $\cos u$ òg vere negativ.

🤔 Tenk over: Kva er vinkelen $u$ mellom $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ ? Kva betyr det for $\cos u$ ?

Forklaring

Sidan både $\vec{n}$ og $\vec{S P}$ er normalvektorar til planet $β$ , er dei parallelle. Då er $u = 0 \lor u = π$ . Det betyr at $\cos u = 1 \lor \cos u = - 1$ .

Vi ønsker å kvitte oss med faktoren $\cos u$ i nemnaren sidan vi ikkje enkelt kan sjå om $\cos u = 1$ eller $\cos u = - 1$ . Vi får til det dersom vi tek absoluttverdien av uttrykket på høgre side over. Vi får

$\begin{array}{rcl} q & = & |\frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \cos u}| \\ = & |\frac{a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}| \cdot \frac{1}{|\cos u|} \\ = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \cdot 1 \\ = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \end{array}$

🤔 Tenk over: Kan du forklare med ord kva denne formelen uttrykker?

Forklaring

Formelen seier at når vi skal finne avstanden mellom eit punkt og eit plan, skal vi setje koordinatane til punktet inn i likninga til planet, rekne ut og dele på lengda til den normalvektoren til planet vi finn ved å lese av $a, b$ og $c$ i planlikninga.

Døme

Vi bruker formelen og reknar ut avstanden frå punktet $A (2, - 8, 7)$ til planet $β$ gitt ved

$2 x + 3 y - z - 1 = 0$

Vi får

$\begin{array}{rcl} q & = & \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \\ = & \frac{|2 \cdot 2 + 3 \cdot (- 8) + (- 1) \cdot 7 + (- 1)|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}}} \\ = & \frac{|4 - 24 - 7 - 1|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} \\ = & \frac{|- 28|}{\sqrt{14}} \\ = & \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ = & \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{14} \\ = & 2 \sqrt{14} \end{array}$

Avstanden frå eit punkt til eit plan med GeoGebra

I GeoGebra kan vi enkelt finne avstanden ved å bruke kommandoen "Avstand(Punkt, Objekt)". Nedanfor har vi funne avstanden i dømet over med CAS.

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er A definert med koordinatane 2, minus 8 og 7. På linje 2 er beta definert som 2 x pluss 3 y minus z minus 1 er lik 0. På linje 3 er kommandoen Avstand med argumenta A og beta skriven inn. Svaret er 2 rota av 14. Skjermutklipp.

Video om avstanden ved å bruke ein normal frå punktet til planet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om avstanden ved å bruke skalarprodukt og om avstandsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om døme på bruk av avstandsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0