Hopp til innhald
Oppgåve

Sinus, cosinus og tangens

Oppgåvene nedanfor kan løysast med alle hjelpemiddel viss det ikkje står noko anna.

2.7.21

Finn lengda av sida AC i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 32,0° og sida BC er 18,3.

Vis fasit

Sida AC som vi skal finne, er motståande katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke sinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på sinus og løyser i GeoGebra.

sinB=Motståande katetHypotenus=ACBC

sin32.0°=AC18.31NLøys:  {AC=9.7}

AC=9,7

2.7.22

Finn lengda av sida AB i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel B er 19,0° og sida BC er 13,4.

Vis fasit

Sida AB som vi skal finne, er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen B. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel B for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosB=Hosliggjande katetHypotenus=ABBC

cos19.0°=AB13.41NLøys:  {AB=12.67}

AB=12,7

2.7.23

Finn lengda av sida AC i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel A er 90°, vinkel C er 47,0° og sida BC er 18,3.

Vis fasit

Sida AC som vi skal finne, er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte sida BC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel C for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosC=ACBC

cos47.0°=AC18.31NLøys:  {AC=12.48}

AC=12,5

2.7.24

Finn lengda av sida AB i den rettvinkla trekanten ABC under, der vinkel C er 90°, vinkel A er 72,0° og sida BC er 274 m.

Vis fasit

Sida AB som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er motståande katet til den oppgitte vinkelen A. Då kan vi bruke sinus til vinkel A for å løyse problemet. Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på sinus og løyser i GeoGebra.

sinA=BCAB

sin72.0°=274AB1NLøys:  {AB=288.1}

AB=288 m

2.7.25

Finn ukjende sider og vinklar i den rettvinkla trekanten ABC, der vinkel B er 90°, vinkel A er 26,6° og sida BC er 274 m.

Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er motståande katet til den oppgitte vinkelen A. Då kan vi bruke sinus til vinkel A for å finne AC.

Den ukjende sida AB, som er hosliggjande katet, kan vi finne på same måte med tangens til vinkel A (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og tangens og løyser i GeoGebra.

sinA = BCACtanA=BCAB

sin26.6°=274AC1NLøys:  {AC=611.94}tan26.6°=274AB2NLøys:  {AB=547.17}C:=90-26.63  C:=63.4

AC = 612 mAB= 547 m

C=63,4°

2.7.26

Finn dei ukjende sidene i trekantane under.

a)

Vis fasit

Den ukjende sida AB som vi skal finne, er motståande katet til den oppgitte vinkelen C. Den oppgitte sida AC er hypotenusen i trekanten. Då kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AB.

Den ukjende sida BC, som er hosliggjande katet, kan vi finne tilsvarande med cosinus til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AB).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

sinC = ABACcosC=BCAC

sin61.5°=AB3.51NLøys:  {AB=3.08}cos61.5°=BC3.52NLøys:  {BC=1.67}

AB = 3,1

BC=1,7

b)

Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida AB er motståande katet til den oppgitte vinkelen C. Då kan vi bruke sinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjende sida BC, som er hosliggjande katet, kan vi finne tilsvarande med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

sinC = ABACtanC=ABBC

sin50.1°=3.1AC1NLøys:  {AC=4.04}tan50.1°=3.1BC2NLøys:  {BC=2.59}

AC=4,0

BC=2,6

c)

Vis fasit

Den ukjende sida AC som vi skal finne, er hypotenusen i trekanten. Den oppgitte sida BC er hosliggjande katet til den oppgitte vinkelen C. Då kan vi bruke cosinus til vinkel C for å finne AC.

Den ukjende sida AB, som er motståande katet, kan vi finne tilsvarande med tangens til vinkel C (eller med pytagorassetninga når vi har funne AC).

Vi set opp likningar ut frå definisjonane på sinus og cosinus og løyser i GeoGebra.

cosC = BCACtanC=ABBC

cos63.3°=1.6AC1NLøys:  {AC=3.56}tan63.3°=AB1.62NLøys:  {AB=3.18}

AC=3,6

AB=3,2

2.7.27 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC under er  sinA=35  og  AB=5,0.

a) Bestem lengda til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A i trekanten.

sinA = BCAB35=BC5,0BC=3,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2=5,02-3,02=25,0-9,0=16,0AC=4,0

b) Bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=45tanA=BCAC=34

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = cosA=45cosB=sinA=35tanB=ACBC=43

2.7.28 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC under er  cosB=25  og  AB=2,0.

a) Bestem lengda til BC og AC. Oppgi svara eksakt.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til cosinus på vinkel B.

cosB = ABBC25=2,0BCBC=5,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=5,02-2,0225,0-4,0=21,0AC=21,0

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  sinB  og  tanB.

Vis fasit

sinB = ACBC=215tanB=ACAB=212

c) Bestem  sinC, cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = sinB=ACBC=215sinC=cosB=25tanC=ABAC=2,021,0=22121

2.7.29 (utan hjelpemiddel)

I trekanten under er  sinA=15  og  AB=20,0.

a) Bestem lengda til BC og AC.

Vis fasit

Vi bruker definisjonen til sinus på vinkel A.

sinA = BCAB15=BC20,0BC=4,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = AB2-BC2AC2=20,02-4,02=400-16AC=384AC=4·4·4·6AC=86

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  cosA  og  tanA.

Vis fasit

cosA = ACAB=8620=265tanA=BCAC=486=62·6=612

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sin A=15sinB=cos A=265tanA=ACBC=864=26

2.7.30 (utan hjelpemiddel)

I trekanten ABC er  sinC=13  og  AB=2,0.

a) Bestem lengda til AC og BC. Oppgi svara eksakt.

Vis fasit

Vi finn først BC ved å bruke definisjonen til sinus på vinkel C.

sinC=ABBC13 = 2,0BCBC·1=2,0·3BC=6,0

Så kan vi bruke Pytagoras si setning til å finne AC.

AC2 = BC2-AB2=6,02-2,02=36,0-4,0=32,0AC=32=16·2=42

b) Bruk eksakte verdiar og bestem  cosC  og  tanC.

Vis fasit

cosC = ACBC=426=223tanC=ABAC=242=24

c) Bestem  sinB, cosB  og  tanB.

Vis fasit

cosB = sinC=13sinB=cosC=223tanB=ACAB=422=22

2.7.31 (utan hjelpemiddel)

Gitt den rettvinkla trekanten ABC, sjå figuren.

a) Bestem  sinC  og  cosC.

Vis fasit

sinC = 2,010=0,2cosC=9,810=0,98

b) Bestem  tanB, sinB  og  cosB.

Vis fasit

tanB = 9,82,0=4,9cosB=sinC=2,010=0,2sinB=cosC=9,810=0,98

2.7.32

Rekn ut kor store kvar av dei ukjende vinklane i den rettvinkla trekanten ABC under er.

Vis fasit

Vi har oppgitt begge vinkelbeina til vinkel A. Sida AB er hosliggjande katet, og sida AC er hypotenus i trekanten. Då kan vi bruke cosinus til vinkel A.

Vi set opp ei likning ut frå definisjonen på cosinus og løyser i GeoGebra.

cosA=ABAC

acosd9.212.41  42.1°C:=90-42.12  C:=47.9

A = 42,1°C=47,9°

2.7.33

Ein 8,5 meter lang stige står mot ein husvegg og dannar vinkelen 72° med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90°.

a) Kor høgt står stigen på veggen?

Vis fasit

Vi kallar høgda for h. Høgda opp langs veggen blir motståande katet til vinkelen på 72°. Stigen blir hypotenusen. Då kan vi bruke definisjonen av sinus til vinkelen på 72° for å løyse oppgåva, som vi løyser med GeoGebra.

sin72°=h8.51NLøys:  {h=8.08}

h=8,1 m

b) Kor langt frå veggen står stigen?

Vis fasit

La avstanden til veggen vere x, som blir hosliggjande katet til vinkelen på 72°. Då passar det å bruke cosinus, og vi løyser oppgåva med GeoGebra.

cos72°=x8.52NLøys:  {x=2.63}

x=2,6 m

2.7.34

I ein rettvinkla trekant er den eine vinkelen 27°. Den hosliggjande kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengda av den andre kateten og hypotenusen.

Vis fasit

Vi kallar den andre kateten for k og hypotenusen for h. Når vi kjenner den hosliggjande kateten til vinkelen, kan vi bruke tangens for å finne k og cosinus for å finne h. Vi løyser oppgåva med GeoGebra.

tan27°=k3.51NLøys:  {k=1.78}cos27°=3.5h2NLøys:  {h=3.93}

k = 1,8 mh=3,9 m