Hopp til innhald
Oppgåve

Takvinklar og tangens

Løys oppgåvene ved å bruke den trigonometriske funksjonen tangens.

Oppgåve 1

I reguleringsplanen i eit område står det at takvinkelen på hus skal vere mellom 23 og 27 grader. I dette området skal du vere med og setje opp eit hus som er 6 m breitt og med ein takvinkel på 23 grader. Skråtaket skal vere slik at den skrå takhimlingen på loftet møter golvet sånn at rommet får ei maksimal breidde på 6 m, altså breidda på huset. Sjå figuren nedanfor. Vi ser bort ifrå at golv og tak har tjukkleik.

Ta utgangspunkt i at huset skal vere 6 m breitt og med ein takvinkel på 23 grader.

a) Kor høgt blir loftsrommet på det høgaste? Er det ei grei høgde?

b) Kva må takvinkelen vere for at det skal bli full takhøgde 240 cm oppunder mønet og huset berre skal ha 6 m breidde? Er ein slik vinkel tillaten ifølgje reguleringsplanen?

c) Dersom takvinkelen er den største som reguleringsplanen tillèt, kor breitt må rommet (og huset) vere for at takhøgda skal bli 240 cm på det høgaste?

d) Vi held fast ved at breidda på huset skal vere 6 m og takvinkelen 23 grader. Byggesakskontoret seier at den største høgda du kan ha oppunder mønet, er 2,00 m, elles blir huset for høgt. Kva blir høgda på veggen ytst i loftsrommet då?

e) På grunn av vilkåret i den førre oppgåva ønskjer du å byggje ein knevegg for å smalne rommet for at ytterveggen ikkje skal bli så låg. Kneveggen skal plasserast slik at høgda på han blir 1,20 m. Kor breitt blir rommet?

Oppgåve 2

a) Du skal finne takvinkelen på eit hus. Du går opp på loftet og ser at taket møter golvet på begge sider av rommet. Du måler breidda på rommet til 7,5 m. Høgda oppunder mønet er 2,30 m. Kva er takvinkelen på dette huset?

b) I eit anna hus gjer du det same. Her òg møter taket golvet på begge sider av loftsrommet. Det er betre høgde under taket i dette rommet fordi takhøgda er (minst) 2,40 m i ei breidde på 1,5 m ved mønet. Breidda på rommet er 6,5 m. Kva er takvinkelen?

c) I eit tredje hus er det knevegg på loftet. Han er 1,20 m høg. Breidda av rommet er 5 m, og mønehøgda er 2,70 m. Kva er takvinkelen?

Løysingar på oppgåvene

Oppgåve 1 a)

Vi må hugse å dele opp rommet slik at vi får ein rettvinkla trekant som vi kan rekne på. Her må vi tenkje oss at vi deler rommet i to på midten slik at vi får to like, rettvinkla trekantar. Breidda av rommet i éin av trekantane blir då 3,00 m. Trekantane har lik takhøgde. Vi har at

TakhøgdeRombreidde = tan23°

Det betyr at vi må multiplisere rombreidda med tan23° for å rekne ut takhøgda. Vi får

takhøgde = rombreidde·tan23°=3,00 m·tan23°=1,27 m

(Vi kan òg løyse dette som ei likning dersom vi vil. Då set vi takhøgda lik x.)

Rommet blir 1,27 m på det høgaste. Det er altfor lågt for eit opphaldsrom.

Oppgåve 1 b)

Her er takvinkelen ukjend, så vi kallar han x. Vi får

tanx = TakhøgdeRombreidde=2,40 m3,00 m=0,8x=38,7°

Takvinkelen må vere 39 grader.

Oppgåve 1 c)

Den største tillatne takvinkelen er 27 grader. Takhøgda er 2,40 m. Sidan vi multipliserer med forholdstalet tan27° når vi reknar ut takhøgder, må vi dele på dette talet når vi skal rekne ut rombreidder. Vi får

TakhøgdeRombreidde = tan27°Rombreidde=Takhøgdetan27°=2,40 mtan27°=4,71 m

Vi må hugse at dette berre er den halve breidda av rommet. Heile breidda på huset må altså minst vere

4,71 m·2=9,42 m

Alternativ løysingsmetode: Vi løyser det som ei likning og set den ukjende rombreidda lik x. Vi får

TakhøgdeRombreidde = tan27°2,40x=tan27°x·2,40x=tan27°·x2,40=tan27°·x2,40tan27°=tan27°·xtan27°4,71=x

Heile breidda blir igjen det dobbelte av dette, altså 9,42 m.

Oppgåve 1 d)

Utan takløft er høgda under mønet 1,27 m. Dersom høgda under mønet skal vere 2,00 m, må taket løftast

2,00 m-1,27 m=0,73 m=73 cm

Dette blir òg høgda på veggene ytst sidan ho i utgangspunktet var null.

Oppgåve 1 e)

Frå den førre oppgåva har vi at ytterveggen er 73 cm høg. Ein knevegg som blir bygd ei ukjend lengde x cm frå ytterveggen, skal altså ha ei høgde på 120 cm. Då aukar vegghøgda frå 73 cm til 120 cm, altså blir det ein høgdeforskjell på  120 cm-73 cm=47 cm.

Denne høgdeforskjellen er "takhøgda" i ein liten trekant med same "takvinkel" som huset og "rombreidde" lik den ukjende lengda x. For å rekne ut den ukjende "rombreidda", må vi som tidlegare dividere "takhøgda" på tangens til "takvinkelen". Vi får

x="Takhøgde"tan23°=47 cmtan23°=111 cm

Kneveggen må byggjast 1,11 m frå ytterveggen. Når vi gjer det på begge sider, blir breidda av rommet

6,00 m-2·1,11 m=3,78 m

Oppgave 2 a)

Vi må dele rommet i to før vi reknar på vinkelen. Då blir rombreidda

7,5 m:2=3,75 m

Vi bruker definisjonen av tangens til ein takvinkel x og får

tanx = TakhøgdeRombreidde=2,30 m3,75 m=0,613x=32°

Oppgåve 2 b)

Her veit vi ikkje høgda oppunder taket på det høgaste, men vi kan lage oss ein trekant med same "takvinkel" der "takhøgda" er 2,40 m. Vi kan rekne ut "rombreidda" i denne trekanten ved å ta den totale breidda av rommet, trekkje frå området på midten der takhøgda var over 2,40 m og til slutt dele svaret på to. "Rombreidda" blir

6,00 m-1,50 m2=2,25 m

Frå definisjonen av tangens til takvinkelen x har vi vidare at

tanx = TakhøgdeRombreidde=2,40 m2,25 m=1,07x=47°

Takvinkelen er 47 grader.

Oppgåve 2 c)

Dersom vi trekkjer ei linje frå toppen av den eine kneveggen til toppen av den andre, får vi ein figur lik han i oppgåve 2 a). Avstanden mellom kneveggane er 5 m. Høgda opp til mønet frå denne linja blir

2,70 m-1,20 m=1,50 m

Vi må igjen dele golvbreidda i to for å få to rettvinkla trekantar. Kvar rettvinkla trekant har då "takhøgde" lik 1,50 m og "rombreidde" lik

5 m:2=2,5 m

Frå definisjonen av tangens til ein takvinkel får vi

tanx = TakhøgdeRombreidde=1,50 m2,50 m=0,6x=31°

Takvinkelen er 31 grader.