Oppgåver og aktivitetar

Den deriverte til funksjonar med fleire ledd

Øv deg på å derivere uttrykk med fleire ledd med og utan hjelpemiddel som grafteiknar, CAS og programmering.

2.4.20

Deriver funksjonsuttrykka ved hjelp av reglane du har lært.

a) $f (x) = 4 x^{3} - 7 x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{3} - 7 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 3 x^{3 - 1} - 7 \\ f^{'} (x) & = & 12 x^{2} - 7 \end{array}$

b) $g (x) = 3 x^{3} + x - 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 3 x^{3} + x - 2 \\ g^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 1 \\ g^{'} (x) & = & 9 x^{2} + 1 \end{array}$

c) $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7$

Løysing

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 \\ g^{'} (x) & = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} - 2 \\ g^{'} (x) & = & x - 2 \end{array}$

d) $g (t) = 2 (2 t^{3} + 3)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} g (t) & = & 2 (2 t^{3} + 3) \\ g (t) & = & 2 (2 \cdot 3 t^{3 - 1}) \\ g^{'} (t) & = & 2 (6 t^{2}) \\ g^{'} (t) & = & 12 t^{2} \end{array}$

e) $\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \end{array}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \\ h (x) & = & 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \\ h (x) & = & 2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3 \\ h (x) & = & 2 x^{2} + 5 x + 3 \\ h^{'} (x) & = & 2 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ h^{'} (x) & = & 4 x + 5 \end{array}$

f) $i (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} i (x) & = & \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} \\ i (x) & = & \frac{1}{3} \cdot x^{3} + \frac{1}{4} \cdot x^{4} \\ i^{'} (x) & = & \frac{1}{3} \cdot 3 x^{3 - 1} + \frac{1}{4} \cdot 4 x^{4 - 1} \\ i^{'} (x) & = & x^{2} + x^{3} \end{array}$

2.4.21

Deriver funksjonsuttrykka ved hjelp av reglane du har lært. Finn deretter $f^{'} (0)$ og $f^{'} (2)$ .

a) $f (x) = x^{2} - 6$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 6 \\ f^{'} (x) & = & 2 x \\ f^{'} (0) & = & 2 \cdot 0 = 0 \\ f^{'} (2) & = & 2 \cdot 2 = 4 \end{array}$

b) $f (x) = - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 \\ f^{'} (x) & = & - 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 5 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & - 9 x^{2} + 10 x \\ f^{'} (0) & = & 0 \\ f^{'} (2) & = & - 9 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 \\ f^{'} (2) & = & - 16 \end{array}$

c) $f (x) = 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} - \frac{1}{2} \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ f^{'} (x) & = & 9 x^{2} - x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 9 \cdot 0^{2} - 0 + 5 \\ f^{'} (0) & = & 5 \\ f^{'} (2) & = & 9 \cdot 2^{2} - 2 + 5 \\ f^{'} (2) & = & 39 \end{array}$

d) $f (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x)$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 2 x - \frac{1}{2}) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \\ f^{'} (0) & = & \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \\ f^{'} (0) & = & - \frac{1}{4} \\ f^{'} (2) & = & \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{4} \\ f^{'} (2) & = & \frac{1}{4} \end{array}$

2.4.22

Vi testar ut derivasjon med ulike hjelpemiddel. Prøv først utan hjelpemiddel, deretter med digital grafteiknar og CAS, og til slutt med programmering.

a) Utan hjelpemiddel: Deriver funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ , og finn $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ f^{'} (x) & = & 8 x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 8 \cdot 0 + 5 = 5 \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot 1 + 5 = 13 \end{array}$

b) Deriver funksjonen, og finn stiginga i punkta på grafen til $f$ der $x = 0$ og $x = 1$ ved hjelp av CAS.

Løysing

Vi bruker CAS til å løyse oppgåva:

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 står det f av x kolon er lik 4 x i andre pluss 5 x. Svaret er det same. På linje 2 står det f av x. Under dette står det Derivert kolon 8 x pluss 5. På linje 3 står det f derivert av 0. Svaret er 5. På linje 4 står det f derivert av 1. Svaret er 13. Skjermutklipp.

c) Bruk digital grafteiknar til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 0$ og $x = 1$ .

Løysing

Vi skriv inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(<x-verdi>,<Funksjon>) og teiknar tangentar som rører grafen i punkta $x = 0$ og $x = 1$ . Vi bruker Stiging(<Linje>) og finn stiginga på tangentane. I punktet $x = 0$ er stiginga 5, og i punktet $x = 1$ er stiginga 13.

Grafen til funksjonen 4 x i andre pluss 5 x er teikna for x-verdiar mellom minus ein halv til 4 komma 5. Grafen har ein tangent i punktet der x er lik 0, og han har stiging lik 5. Grafen har også ein tangent i punktet der x er lik 1, og han har stiging lik 13. Illustrasjon.

d) Programmeringsoppgåve: Skriv algoritmen til eit program som gir deg $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ til funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ .

Løysing

Programmet definerer funksjonen.
Programmet definerer den deriverte funksjonen.
Programmet set $x$ -verdiane 0 og 1 inn i funksjonen og inn i den deriverte til funksjonen og skriv ut funksjonsverdiane og funksjonsverdiane til den deriverte.

e) Skriv koden til algoritmen i d) som gir deg $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ til funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ .

Løysingsforslag

Funksjonsverdiar til den deriverte av f(x)

1print("Dette programmet gir deg funksjonsverdien og \nfunksjonsverdien til den deriverte til ein gitt funksjon.")
2#\n deler opp setninga mi
3
4def funksjonsverdi(x):      #definerer funksjonen
5    return  4*x**2+5*x  
6
7def derivert(x):            #definerer den deriverte av funksjonen
8    return 8*x+5    
9    
10print("f(x) = 4x² + 5x")
11print("f'(x) = 8x + 5")
12
13print("f(0) = ", funksjonsverdi(0))    #skriv ut funsjonsverdi når x er 0
14print("f(1) = ", funksjonsverdi(1))    #skriv ut funsjonsverdi når x er 1
15
16print("f'(0) = ", derivert(0))         #skriv ut den deriverte når x er 0
17print("f'(1) = ", derivert(1))         #skriv ut den deriverte når x er 1

f) Dersom funksjonsuttrykket $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ viser talet på bakteriar i ein liten bakteriekultur og $x$ er talet på minutt etter midnatt, kva viser då $f^{'} (0) og f^{'} (1) ?$

Løysing

$f^{'} (0) = 5$ fortel oss at ved midnatt vaks bakteriekulturen med 5 bakteriar i minuttet, mens $f^{'} (1) = 13$ fortel oss at kl. 01.00 om natta vaks bakteriekulturen med 13 bakteriar i minuttet.

2.4.23

Løys oppgåvene ved rekning utan hjelpemiddel.

a) Finn $f^{'} (1)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \end{array}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot 4 x^{4 - 1} - 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & 8 x^{3} - 2 x \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot {(1)}^{3} - 2 \cdot 1 = 6 \end{array}$

b) Finn $f^{'} (0, 5)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \end{array}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \\ f^{'} (x) & = & 0 + 3 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ f^{'} (x) & = & 6 x \\ f^{'} (0, 5) & = & 6 \cdot 0, 5 = 3 \end{array}$

c) Finn $f^{'} (0)$ når $f (x) = 3 x^{2} - b^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - b^{2} \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x^{2 - 1} - 0 \\ f^{'} (x) & = & 6 x \\ f^{'} (0) & = & 6 \cdot 0 = 0 \end{array}$

d) Finn $f^{'} (- 1, 5)$ når $f (t) = 2 x + 3 t^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x + 3 t^{2} \\ f^{'} (t) & = & 0 + 3 \cdot 2 t \\ f^{'} (t) & = & 6 t \\ f^{'} (- 1, 5) & = & 6 \cdot (- 1, 5) \\ f^{'} (- 1, 5) & = & - 9 \end{array}$

2.4.24

Deriver uttrykka under utan hjelpemiddel.

a) $f (x) = 3 x^{2} - z^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - z^{2} f (x) viser at vi skal \\ derivere med omsyn på x . \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x \\ f^{'} (x) & = & 6 \end{array}$

b) $f (t) = 2 x^{3} - 4 t^{2} + t$

Løysing

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x^{3} - 4 t^{2} + t f (t) viser at vi skal \\ derivere med omsyn på t . \\ f^{'} (t) & = & 0 - 4 \cdot 2 t + 1 \\ f^{'} (t) & = & - 8 t + 1 \end{array}$

c) $g (x) = x^{3} - 2 z^{2} + x + π$

Løysing

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (x) & = & 3 x^{2} - 0 + 1 + 0 \\ g^{'} (x) & = & 3 x^{2} + 1 \end{array}$

d) $\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \end{array}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (z) & = & 0 - 2 \cdot 2 z + 0 + 0 \\ g^{'} (z) & = & - 4 z \end{array}$

2.4.25

Vi har uttrykket $x^{2} + 2 z - 2 x z$ .

a) Deriver uttrykket med omsyn på $x$ .

Løysing

$2 x + 0 - 2 z = 2 x - 2 z$

b) Deriver uttrykket med omsyn på $z$ .

Løysing

$0 + 2 - 2 x = 2 - 2 x$

c) Deriver uttrykket med omsyn på $t$ .

Løysing

$0 + 0 - 0 = 0$

2.4.26

Vi har uttrykket $3 x^{4} - 7 x y^{2} + 2 x z - \frac{1}{3} z^{3}$ .

a) Deriver uttrykket med omsyn på $x$ .

Løysing

$3 \cdot 4 x^{4 - 1} - 7 y^{2} + 2 z - 0 = 12 x^{3} - 7 y^{2} + 2 z$

b) Deriver uttrykket med omsyn på $y$ .

Løysing

$0 - 7 x \cdot 2 y + 0 - 0 = 14 x y$

c) Deriver uttrykket med omsyn på $z$ .

Løysing

$0 - 0 + 2 x - \frac{1}{3} \cdot 3 z^{3 - 1} = 2 x - z^{2}$

d) Deriver uttrykket med omsyn på $t$ .

Løysing

$0 - 0 + 0 - 0 = 0$

CC BY-SASkrive av Viveca Thindberg.

Sist fagleg oppdatert 18.01.2023

Den deriverte til funksjonar med fleire ledd

2.4.20

2.4.21

2.4.22

Funksjonsverdiar til den deriverte av f(x)

2.4.23

2.4.24

2.4.25

2.4.26

Reglar for bruk