Binomisk sannsynsmodell

Vi definerer den stokastiske variabelen $$ M=$$ talet på mynt.
Vi finn vegane gjennom valtreet som gir to mynt: MMK, MKM og KMM. Sannsynsmodellen er uniform, så vi får:
$$ P\left(M=2\right)=\frac{3}{8}$$

Dette er det same som å få berre mynt, altså har vi at $$ M=3$$:

$$ P\left(M=3\right)=\frac{1}{8}$$

b) Vi har her eit binomisk forsøk der $$ n=3, k=2$$ og $$ p=0,5$$:
$$ P\left(M=2\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=3·\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$$

c) Vi har det same binomiske forsøket, men $$ k=0$$:

$$ P\left(M=0\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=3·{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=1·\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$

Dette kan vi løyse på fleire måtar. Vi vel her å bruke GeoGebra og finne heile sannsynsfordelinga:

a) $$ P\left(X=2\right)=0,2907$$

b) $$ P\left(X=3\right)=0,155$$

c) $$ P\left(X=0\right)=0,1615$$

d) $$ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-0,1615=0,8385$$

Vi set den stokastiske variabelen $$ X$$ til å vere talet på laukar som spirer. I a) er vi ute etter $$ P\left(X\ge 30\right)$$. I b) ser vi etter $$ P\left(X\le 30\right)$$. I c) vel vi å tolke det som $$ P\left(20\le x\le 30\right)$$.

Vi set inn i GeoGebra:

a)

b)

c)

d) Her kan vi rekne ut direkte: $$ P\left(X=40\right)=0,{80}^{40}\approx 0,00013$$

1from scipy.stats import binom
2
3n = 40
4p = 0.8
5X = []                     #lagar ei liste for talet på frø som spirer
6
7for i in range(n+1):      #legg inn alle tal frå og med 0 til og med n i lista
8    X.append(i)
9
10
11spirer = binom.pmf(X,n,p)  #lagar ei liste med sannsyna
12a = 0
13b = 0
14c = 0                      #lagar plasshaldarar for kvar av deloppgåvene
15
16for i in range(31):
17    a = a + spirer[i]
18for i in range(30,41):
19    b = b + spirer[i]
20for i in range(20,31):
21    c = c + spirer[i]
22d = spirer[40]
23print(f"sannsynet for at minst 30 laukar spirer, er {a:.4}")
24print(f"sannsynet for at høyst 30 laukar spirer, er {b:.4}")
25print(f"sannsynet for at mellom 20 og 30 laukar spirer, er {c:.4}")
26print(f"sannsynet for at alle laukane spirer, er {d:.4}")

Køyr programmet i editoren din for å sjå at det stemmer med svara i 4.3.22. Hugs at om du har laga eit anna program som fungerer, er det kanskje minst like bra! Dette programmet er berre eit forslag.

Vi legg inn i sannsynskalkulatoren i GeoGebra med $$ n=20$$ og $$ p=0,88$$. Det gir desse svara:

a) $$ P\left(X=20\right)=0,0776$$

b) $$ P\left(X\ge 18\right)=0,5631$$

c) $$ P\left(X\le 16\right)=0,2127$$

Ved rein gjetting blir prøva å rekne som eit binomisk forsøk. Sannsynet for å svare riktig på eit enkeltspørsmål er$\frac{1}{4}$.

Ein svarer på dei enkelte spørsmåla uavhengig av dei andre.

Sannsynet for å få 38 rette kan vi finne med sannsynskalkulatoren i GeoGebra.

Sannsynet er $1,1·{10}^{-16}$.

Svaret viser at det ikkje er lurt å gå opp til førarprøva utan å førebu seg.