Oppgåver og aktivitetar

Binomisk sannsynsmodell

Her kan du jobbe med oppgåver om binomiske sannsynsmodellar. Nedst på sida finn du lenkje til ei teoriside du kan gå til om du treng det.

4.3.20

Vi kastar eit kronestykke tre gonger.

a) Teikn eit valtre som illustrerer dei moglege utfalla vi kan få.

Løysing

Valtre som illustrerer situasjonen i oppgåva. Illustrasjon.

b) Kva er sannsynet for å få mynt nøyaktig to gonger?

Løysing

Vi definerer den stokastiske variabelen $M =$ talet på mynt.
Vi finn vegane gjennom valtreet som gir to mynt: MMK, MKM og KMM. Sannsynsmodellen er uniform, så vi får:
$P (M = 2) = \frac{3}{8}$

c) Kva er sannsynet for å ikkje få krone nokon av gongene?

Løysing

Dette er det same som å få berre mynt, altså har vi at $M = 3$ :

$P (M = 3) = \frac{1}{8}$

d) Bruk formelen for binomisk sannsyn til å finne svara i b) og c).

Løysing

b) Vi har her eit binomisk forsøk der $n = 3, k = 2$ og $p = 0, 5$ :
$P (M = 2) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

c) Vi har det same binomiske forsøket, men $k = 0$ :

$P (M = 0) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} = 3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$

e) Bruk GeoGebra til å finne svara i b) og c).

Løysing

f) Bruk Python til å finne svara i b) og c).

Løysing

Python

1from scipy.stats import binom
2antalmynt = binom.pmf([0,1,2,3],3,0.5)
3
4print(f"sannsynet for å få to mynt er {antalmynt[2]}")
5print(f"sannsynet for å få ingen krone er {antalmynt[3]:.3f}")

4.3.21

Vi kastar ein terning 10 gonger. Finn sannsynet for at vi får

a) to seksarar
b) tre seksarar
c) ingen seksarar
d) minst éin seksar

Løysing

Dette kan vi løyse på fleire måtar. Vi vel her å bruke GeoGebra og finne heile sannsynsfordelinga:

Binomisk fordeling i GeoGebra med n lik 10 og p lik ein sjettedel. Sannsynsfordelinga er gitt i kolonnen til høgre, der sannsyna frå 0 til 10 er 0,1615, 0,323, 0,2907, 0,155, 0,0543, 0,013, 0,0022, 0,0002, 0, 0, 0. Skjermutklipp.

a) $P (X = 2) = 0, 2907$

b) $P (X = 3) = 0, 155$

c) $P (X = 0) = 0, 1615$

d) $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 1615 = 0, 8385$

4.3.22

Morten plantar 40 tulipanlaukar i hagen. Han reknar med at spireevna til laukane er 80 %.

Bruk GeoGebra, og finn sannsynet for at

a) minst 30 av laukane vil spire
b) høgst 30 av laukane vil spire
c) mellom 20 og 30 av laukane vil spire
d) alle laukane vil spire

Løysing

Vi set den stokastiske variabelen $X$ til å vere talet på laukar som spirer. I a) er vi ute etter $P (X \geq 30)$ . I b) ser vi etter $P (X \leq 30)$ . I c) vel vi å tolke det som $P (20 \leq x \leq 30)$ .

Vi set inn i GeoGebra:

Sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Det er valt «Binomisk fordeling» med n lik 40 og p lik 0,8. Svaret er gitt som P parentes 30 mindre enn eller lik X parentes slutt er lik 0,8392. Skjermutklipp.

Sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Det er valt «Binomisk fordeling» med n lik 40 og p lik 0,8. Svaret er gitt som P parentes X mindre enn eller lik 30 parentes slutt er lik 0,2682. Skjermutklipp.

Sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Det er valt «Binomisk fordeling» med n lik 40 og p lik 0,8. Svaret er gitt som P parentes 20 mindre enn eller lik 30 parentes slutt er lik 0,2682. Skjermutklipp.

d) Her kan vi rekne ut direkte: $P (X = 40) = 0, 80^{40} \approx 0, 00013$

4.3.23

Bruk Python til å løyse oppgåve 4.3.22.

Løysing

Python

1from scipy.stats import binom
2
3n = 40
4p = 0.8
5X = []                     #lagar ei liste for talet på frø som spirer
6
7for i in range(n+1):      #legg inn alle tal frå og med 0 til og med n i lista
8    X.append(i)
9
10
11spirer = binom.pmf(X,n,p)  #lagar ei liste med sannsyna
12a = 0
13b = 0
14c = 0                      #lagar plasshaldarar for kvar av deloppgåvene
15
16for i in range(31):
17    a = a + spirer[i]
18for i in range(30,41):
19    b = b + spirer[i]
20for i in range(20,31):
21    c = c + spirer[i]
22d = spirer[40]
23print(f"sannsynet for at minst 30 laukar spirer, er {a:.4}")
24print(f"sannsynet for at høyst 30 laukar spirer, er {b:.4}")
25print(f"sannsynet for at mellom 20 og 30 laukar spirer, er {c:.4}")
26print(f"sannsynet for at alle laukane spirer, er {d:.4}")

Køyr programmet i editoren din for å sjå at det stemmer med svara i 4.3.22. Hugs at om du har laga eit anna program som fungerer, er det kanskje minst like bra! Dette programmet er berre eit forslag.

4.3.24

Ein skiskyttar har ei treffsikkerheit på 88 %. I eit løp skal ho skyte på 20 blinkar. Kva er sannsynet for at skiskyttaren treffer

a) alle 20 blinkane?
b) minst 18 av blinkane?
c) høgst 16 av blinkane?

Løysing

Vi legg inn i sannsynskalkulatoren i GeoGebra med $n = 20$ og $p = 0, 88$ . Det gir desse svara:

a) $P (X = 20) = 0, 0776$

b) $P (X \geq 18) = 0, 5631$

c) $P (X \leq 16) = 0, 2127$

4.3.25

Når du skal opp til den teoretiske førarprøva for bil, får du 45 spørsmål. Kvart spørsmål har fire svaralternativ. For å bestå prøva må du ha minst 38 riktige svar. Kva er sannsynet for å bestå prøva med rein gjetting på alle spørsmåla?

Løysing

Ved rein gjetting blir prøva å rekne som eit binomisk forsøk. Sannsynet for å svare riktig på eit enkeltspørsmål er $\frac{1}{4}$ .

Ein svarer på dei enkelte spørsmåla uavhengig av dei andre.

Binomisk fordeling i GeoGebra med n = 45 og p lik 0,25. Svaret er gitt som P parentes 38.000 mindre enn eller lik X parentes slutt er lik 1.1102E-16. Skjermutklipp

Sannsynet for å få 38 rette kan vi finne med sannsynskalkulatoren i GeoGebra.

Sannsynet er $1, 1 \cdot 10^{- 16}$ .

Svaret viser at det ikkje er lurt å gå opp til førarprøva utan å førebu seg.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 21.01.2021

Binomisk sannsynsmodell

4.3.20

Python

4.3.21

4.3.22

4.3.23

Python

4.3.24

4.3.25

Reglar for bruk