Hypergeometrisk sannsynsmodell

Dei ulike kombinasjonane er G1G2, G1J1, G1J2, G2J1, G2J2 og J1J2.

Det er berre éi moglegheit for to jenter: J1J2. Dei seks utfalla har likt sannsyn, dermed får vi at:

$$ P\left(\mathrm{J}1\mathrm{J}2\right)=\frac{1}{6}$$

Det er fire av dei seks kombinasjonane som gir éin av kvar:

$$ P\left(\mathrm{ein} \mathrm{av} \mathrm{kvar}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Vi set den stokastiske variabelen $$ X$$ lik talet på jenter.
Vi har då $$ n=4, m=2$$ og $$ r=2$$.

b)
$$ P\left(X=2\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)}=\frac{1·1}{6}=\frac{1}{6}$$

c)
$$ P\left(X=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)}=\frac{2·2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Vi vel «Hypergeometrisk fordeling» i GeoGebra med populasjon lik 4, $$ n=2$$ og utval lik 2:

b)

c)

b)

1from scipy.stats import hypergeom #importerer generatoren
2
3tojenter = hypergeom.pmf(2,4,2,2)  #legg inn stokastisk variabel, tal på elevar, tal på jenter og talet som skal trekkjast totalt
4
5print(tojenter) skriv ut sannsynet

c)

1from scipy.stats import hypergeom
2
3tojenter = hypergeom.pmf(1,4,2,2)
4
5print(tojenter)

Køyr programma for å få svaret.

a) Vi legg inn i sannsynskalkulatoren i GeoGebra med populasjon lik 30, $$ n=16$$ og utval lik 4. Vi vel intervallet$$ 4\le X\le 4$$ og får at sannsynet for 4 jenter er 0,0664.

b) Vi bruker same fordeling, men vel no intervallet$$ 0\le X\le 0$$ og får at sannsynet for ingen jenter, altså 4 gutar, er 0,0365.

c) Det er fleire jenter enn gutar i klassen, derfor er det meir sannsynleg å trekkje berre jenter enn berre gutar.

d) Vi bruker sannsynskalkulatoren som i a) og b), vel intervallet $$ 2\le X\le 2$$ og får at sannsynet for 2 av kvar er 0,3985.

Her må vi utvide formelen for hypergeometrisk fordeling og trekkje frå ei mengde med fire ulike element. Vi definerer hendinga $$ A$$:

$$ A$$: Trekkje éin av kvart av dei fire slaga.

$$ P\left(A\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,105$$

Vi kan løyse dette i CAS i GeoGebra slik:

Her deler vi kortstokken i to ulike element: hjarte og ikkje hjarter. Vi får då $$ n=52, m=13, r=4$$ og $$ k=4$$:

$$ P\left(A=4\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 4\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}39\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,0026$$

Vi bruker hypergeometrisk fordeling med element av tre typar: ruter, spar og anna. Vi definerer $$ B$$: 2 ruter og 2 spar:

$$ P\left(B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}26\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 4\end{array}\right)}\approx 0,022$$

Her blir det som i a) fire ulike element. Vi definerer hendinga C:

C: å trekkje 2 spar, 2 ruter, 3 hjarter og 1 kløver.

$$ P\left(C\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 3\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}13\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}52\\ 8\end{array}\right)}\approx 0,03$$