Oppgåver og aktivitetar

Hypergeometrisk sannsynsmodell

Her kan du jobbe med oppgåver som handlar om den hypergeometriske sannsynsfordelinga.

4.3.40

Ei gruppe på 4 elevar består av 2 gutar og 2 jenter. Det skal trekkjast ut 2 elevar frå gruppa.

La gutane få bokstavane G1 og G2, og jentene J1 og J2.

a) List opp dei ulike moglege kombinasjonane.

Løysing

Dei ulike kombinasjonane er G1G2, G1J1, G1J2, G2J1, G2J2 og J1J2.

b) Finn sannsynet for at det blir trekt ut 2 jenter.

Løysing

Det er berre éi moglegheit for to jenter: J1J2. Dei seks utfalla har likt sannsyn, dermed får vi at:

$P (J 1 J 2) = \frac{1}{6}$

c) Finn sannsynet for at det blir trekt ut 1 jente og 1 gut.

Løysing

Det er fire av dei seks kombinasjonane som gir éin av kvar:

$P (ein av kvar) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

d) Bruk formelen for hypergeometrisk sannsynsfordeling, og finn svara i b) og c).

Løysing

Vi set den stokastiske variabelen $X$ lik talet på jenter.
Vi har då $n = 4, m = 2$ og $r = 2$ .

b)
$P (X = 2) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{1 \cdot 1}{6} = \frac{1}{6}$

c)
$P (X = 1) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})} = \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

e) Bruk GeoGebra og finn svara i b) og c).

Løysing

Vi vel «Hypergeometrisk fordeling» i GeoGebra med populasjon lik 4, $n = 2$ og utval lik 2:

Bilete av sannsynskalkulatoren i GeoGebra. Det er valt «Hypergeometrisk fordeling» med populasjon lik 4, n lik 2 og utvalg lik 2. Svaret er gitt som P parentes 2 mindre enn eller lik X parentes slutt er lik 0,1667. Skjermbilete.

f) Bruk Python og finn svara i b) og c).

Løysing

Python

1from scipy.stats import hypergeom #importerer generatoren
2
3tojenter = hypergeom.pmf(2,4,2,2)  #legg inn stokastisk variabel, tal på elevar, tal på jenter og talet som skal trekkjast totalt
4
5print(tojenter) skriv ut sannsynet

Python

1from scipy.stats import hypergeom
2
3tojenter = hypergeom.pmf(1,4,2,2)
4
5print(tojenter)

Køyr programma for å få svaret.

4.3.41

I ein klasse skal det trekkjast ut 4 elevar til ein festkomité. Klassen består av 16 jenter og 14 gutar.

a) Bestem sannsynet for at det blir ein komité med 4 jenter.

b) Bestem sannsynet for at det blir ein komité med 4 gutar.

c) Kvifor er ikkje svara i a) og b) like?

d) Kva blir sannsynet for at det blir ein komité med 2 jenter og 2 gutar?

Løysing

a) Vi legg inn i sannsynskalkulatoren i GeoGebra med populasjon lik 30, $n = 16$ og utval lik 4. Vi vel intervallet $4 \leq X \leq 4$ og får at sannsynet for 4 jenter er 0,0664.

b) Vi bruker same fordeling, men vel no intervallet $0 \leq X \leq 0$ og får at sannsynet for ingen jenter, altså 4 gutar, er 0,0365.

c) Det er fleire jenter enn gutar i klassen, derfor er det meir sannsynleg å trekkje berre jenter enn berre gutar.

d) Vi bruker sannsynskalkulatoren som i a) og b), vel intervallet $2 \leq X \leq 2$ og får at sannsynet for 2 av kvar er 0,3985.

4.3.42

Du trekkjer 4 kort frå ein kortstokk.

a) Kva er sannsynet for å trekkje 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjarter?

Løysing

Her må vi utvide formelen for hypergeometrisk fordeling og trekkje frå ei mengde med fire ulike element. Vi definerer hendinga $A$ :

$A$ : Trekkje éin av kvart av dei fire slaga.

$P (A) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 105$

Vi kan løyse dette i CAS i GeoGebra slik:

Bilete av CAS-utrekning i GeoGebra. Biletet viser ein brøk. I teljar: nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt multiplisert med nCr parentes 13, 1 parentes slutt. I nemnar: nCr parentes 53,4 parentes slutt. Svaret er gitt som tilnærma lik 0,105.

b) Kva er sannsynet for å trekkje ut 4 hjarter?

Løysing

Her deler vi kortstokken i to ulike element: hjarte og ikkje hjarter. Vi får då $n = 52, m = 13, r = 4$ og $k = 4$ :

$P (A = 4) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 39 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 0026$

c) Kva er sannsynet for å trekkje ut 2 ruter og 2 spar?

Løysing

Vi bruker hypergeometrisk fordeling med element av tre typar: ruter, spar og anna. Vi definerer $B$ : 2 ruter og 2 spar:

$P (B) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 26 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 4 \end{matrix})} \approx 0, 022$

Du trekkjer 8 kort frå ein kortstokk.

d) Bestem sannsynet for å trekkje 2 spar, 2 ruter, 3 hjarte og 1 kløver.

Løysing

Her blir det som i a) fire ulike element. Vi definerer hendinga C:

C: å trekkje 2 spar, 2 ruter, 3 hjarter og 1 kløver.

$P (C) = \frac{(\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 8 \end{matrix})} \approx 0, 03$

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Tove Annette Holter.

Sist fagleg oppdatert 22.01.2021

Hypergeometrisk sannsynsmodell

4.3.40

Python

Python

4.3.41

4.3.42

Reglar for bruk