Hopp til innhald
Oppgåve

Lineære ulikskapar

Oppgåvene nedanfor skal løysast med ulike framgangsmåtar.

1.3.1

Løys ulikskapane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) x-3<5

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

x-3 < 5x-3+3<5+3x<8

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av likninga som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunktet har x-koordinaten 8.

Ulikskapen spør etter når grafen til f ligg under grafen til g. Dette er oppfylt på venstre side av skjeringspunktet, det vil seie når  x<8.

Løysing med CAS:

b) 2x+1>3

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

2x+1 > 32x+1-1>3-12x2>22x>1

c) 2x-4<x-4

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand.

2x-4 < x-42x-4-x+4<x-4-x+4x<0

1.3.2

Løys ulikskapane ved rekning for hand, grafisk og med CAS.

a) 3x-5<5

Løysing

3x-5 < 53x-5+5<5+53x3<103x<103

b) 5x-3<2x-6

Løysing

5x-3 < 2x-65x-3-2x+3<2x-6-2x+33x3<-33x<-1

c) 6-5x61-x

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

6-5x  61-x6-5x6-6x6-5x+6x-66-6x+6x-6x0

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Vi bruker verktøyet "Skjering mellom to objekt" for å finne skjeringspunktet mellom grafane til dei to funksjonane. Skjeringspunktet har x-koordinaten 0.

Ulikskapen spør etter når grafen til f ligg over grafen til g, og når dei skjer kvarandre. Dette er oppfylt i skjeringspunktet og på høgre side av skjeringspunktet, det vil seie når  x0.

Løysing med CAS:

d) x-32x+6

Løysing

Vi viser berre løysing ved rekning for hand her.

x-3  2x+6x-32x+12x-3-2x+32x+12-2x+3-x15                    Vi dividerer  (-1)                          og snur ulikskapsteiknet.x-15

1.3.3

Løys ulikskapane ved rekning for hand. Kontroller svara med CAS.

a) 3x-5<5x-2

Løysing

3x-5 < 5x-23x-15<5x-103x-15-5x+15<5x-10-5x+15-2x-2>5-2              Vi dividerer  (-2)                     og snur ulikskapsteiknet.x>-52

b) 5x-3<2x-6

Løysing

5x-3 < 2x-65x-3-2x+3<2x-6-2x+33x3<-33x<-1

c) 1-x1+x

Løysing

1-x  1+x1-x-x-11+x-x-1-2x0                Vi dividerer  (-2)                    og snur ulikskapsteiknet.x0

d) 32x-3<6x-9

Løys òg ulikskapen grafisk.

Løysing

Løysing ved rekning for hand:

32x-3 < 6x-96x-9<6x-96x-9-6x+9<6x-9-6x+90x<0

0x kan aldri bli mindre enn 0. Det betyr at ulikskapen ikkje har løysing.

Dette kan vi sjå allereie i linje 2 i løysinga. Kvifor? Sjå svar nedst nede i løysingsboksen.

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Dei to grafane ligg oppå kvarandre; dei er ein og same graf. Verktøyet "Skjering mellom to objekt" gir inga løysing.

Ulikskapen spør etter når grafen til f ligg under grafen til g. Det gjer han aldri fordi grafane ligg oppå kvarandre. Ulikskapen har derfor inga løysing.

Løysing med CAS:

Svar på spørsmålet lengre opp i løysingsboksen:

Vi kan sjå dette i linje 2 fordi det som står på venstre side er heilt likt det som står på høgre side. Då kan ikkje det som står på venstre side vere mindre enn det som står på høgre side.

e) Kva blir løysinga på ulikskapen i oppgåve d) dersom vi byter ut teiknet < i ulikskapen med ?

Løysing

Det betyr at ulikskapen òg spør etter når venstre side er lik høgre side. Det fann vi ut at ho alltid er, så då er alle moglege tal løysing på ulikskapen. Matematisk kan vi, dersom vi vil, skrive dette som

x

der står for "... element i ...", og står for "alle reelle tal".

f) Kva andre ulikskapsteikn kan ulikskapen i d) ha for at han skal ha inga løysing?

Løysing

Sidan venstresida av ulikskapen alltid er lik høgresida, kan vi byte ut teiknet < med teiknet > og framleis ha inga løysing. Dersom vi prøver å byte ut med teiknet , kan dei to sidene vere lik kvarandre, og vi får igjen alle moglege x-verdiar som løysing slik som i oppgåve e).

1.3.4

Løys ulikskapane ved rekning for hand. Kontroller svara med CAS.

a) 23x-2-3

Løysing

23x-2  -32x·33-2·3-3·32x-6-92x-6+6-9+62x2-32x-32

b) x2-x3>16

Løysing

x2-x3 > 16x·62-x·63>1·663x-2x>1x>1

c) 52x+x3-743-x6

Løysing

52x+x3-74  3-x65x·122+x·123-7·1243·12-x·12630x+4x-2136-2x36x57x5736x1912

d) 322x-3<9x3+12

Løys òg ulikskapen grafisk.

Løysing

322x-3 < 9x3+126x2-92<9x3+923x-92<3x+923x-3x<92+920x<1820x<9

0x er alltid mindre enn 9. Det betyr at ulikskapen er gyldig for alle moglege x. Vi kan skrive løysinga som

x

Grafisk løysing:

Vi skriv inn venstresida av ulikskapen som ein funksjon fx og høgresida som ein funksjon gx i algebrafeltet i GeoGebra. Dei to grafane er parallelle, rette linjer og grafen til f ligg under grafen til g. Verktøyet "Skjering mellom to objekt" gir inga løysing.

Ulikskapen spør etter når grafen til f ligg under grafen til g. Det gjer han alltid fordi grafane er parallelle. Løysinga er derfor alle moglege x-verdiar, som vi fann over.

Løysing med CAS:

e) Kva blir løysinga på ulikskapen i oppgåve d) dersom vi byter ut teiknet < i ulikskapen med teiknet ?

Løysing

Om vi byter ut "mindre enn" i ulikskapen med "mindre enn eller lik", vil framleis alle moglege x-verdiar vere løysing av ulikskapen sidan dette bytet ikkje lagar fleire avgrensingar.

f) Kva ulikskapsteikn må ulikskapen i d) ha for at han skal ha inga løysing?

Løysing

Sidan vi har at venstresida av ulikskapen alltid er mindre enn høgresida, kan vi byte ut teiknet < med både > og for å få inga løysing på ulikskapen.

1.3.5

Per skal ha sommarjobb som jordbærplukkar. Han har valet mellom to ulike lønnsavtalar.

1) Han kan få ei fast timelønn på 50 kroner per time og i tillegg 2 kroner for kvar korg han plukkar.

2) Han kan få 5 kroner for kvar korg han plukkar, men då får han ikkje noka fast timelønn.

Still opp ein ulikskap, og finn ut kor mange korger Per må plukke i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

Løysing

Vi lèt x vere talet på korger Per plukkar og set opp uttrykk for kvar av dei to lønnsavtalane.

1) 50+2x

2) 5x

Vi ønskjer å finne ut når avtale 2 er større enn avtale 1. Vi får då ulikskapen

5x > 50+2x5x-2x>50+2x-2x3x3>503x>16,7

Per må plukke minst 17 korger i timen for at avtale 2 skal lønne seg.

1.3.6

Kari og familien skal på tur. Dei vil leige bil i fem døgn. Kari har undersøkt ulike leigebiltilbod og funne fram til to aktuelle.

1) Leigebilen kostar 700 kroner per døgn, med fri køyrelengde opp til 500 kilometer. Over det skal det betalast 5 kroner per kilometer.

2) Leigebilen kostar 1 500 kroner per døgn. Køyrelengda er inkludert.

Still opp ein ulikskap, og finn ut kor mange kilometer dei må køyre for at tilbod 2 skal lønne seg.

Løysing

Det er klart at dersom køyrelengda er mindre enn eller lik 500 kilometer, lønner tilbod 1 seg fordi det har lågare døgnpris. Køyrelengda må altså vere høgare enn 500 kilometer for at tilbod 2 skal lønne seg. Vi kan derfor la x vere talet på kilometer dei køyrer over 500 kilometer og bruke det til å setje opp uttrykk for dei to tilboda.

Tilbod 1:  700·5+5x

Tilbod 2:  1500·5

Vi ønskjer å finne ut når tilbod 2 lønner seg. Det betyr her at tilbod 2 skal gi den lågaste kostnaden.

Vi får

1 500·5 < 700·5+5x7 500<3 500+5x7 500-5x-7 500<3 500+5x-5x-7 500-5x-5>-4 000-5x>800

Det betyr at dei må køyre meir enn

800 km+500 km=1300 km

for at tilbod 2 skal lønne seg. (Hugs at x står for talet på kilometer over 500.)

CC BY-SA 4.0Skrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.
Sist fagleg oppdatert 08.06.2021