Fagstoff

Lineære ulikskapar

Kva meiner vi med ein ulikskap, og korleis løyser vi ein ulikskap av første grad?

Kva er ein ulikskap?

Ein ulikskap består av eit ulikskapssymbol med eit tal eller uttrykk på kvar side av symbolet. Eit døme er ulikskapen

Gapande krokodille. Foto. — Hugs at krokodilla er svolten og alltid vil gape over det største talet eller uttrykket.

$3 < 8$

Ulikskapen blir lesen som " $3$ er mindre enn $8$ ".

Vi har fire ulikskapssymbol: $<$ , som betyr "mindre enn", $>$ , som betyr "større enn", $\leq$ , som betyr "mindre enn eller lik", og $\geq$ , som betyr "større enn eller lik".

Merk at "gapet" alltid peiker mot det største talet.

Ein ulikskap inneheld gjerne ein eller fleire ukjende storleikar symboliserte med bokstavar. Det er vanleg å bruke bokstaven $x$ for den ukjende når ulikskapen har éin ukjend storleik.

Eit døme er ulikskapen

$x + 3 \geq 8$

Å løyse ein ulikskap går ut på å finne kva verdiar $x$ kan ha for at ulikskapen skal vere sann. Døme: Kva verdiar av $x$ i ulikskapen ovanfor gjer at $x + 3$ blir lik eller større enn $8$ ?

Løysing av ulikskapar ved rekning for hand

Langt på veg kan vi løyse ulikskapar etter dei same prinsippa vi brukte for å løyse likningar.

Dersom vi adderer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Sidan $5 < 9, så er 5 + 3 < 9 + 3$ .
Dersom vi subtraherer det same talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Sidan $9 > 5, så er 9 - 3 > 5 - 3$ .
Dersom vi multipliserer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Sidan $9 > 5, så er 9 \cdot 3 > 5 \cdot 3$ .
Dersom vi dividerer med det same positive talet på begge sider av ulikskapsteiknet, beheld vi den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Sidan $9 > 6, så er \frac{9}{3} > \frac{6}{3}$ .

Vi kan altså addere, subtrahere, multiplisere og dividere med det same positive talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.

Kva så viss vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal på begge sider i ein ulikskap?

Vi ser på ei tallinje.

Tallinje som går frå minus 7 til 7. Illustrasjon.

Dersom vi vel to ulike tal, veit vi at det talet som ligg lengst til høgre, er det største. Talet $4$ ligg til høgre for talet $2$ og er dermed større enn $2$ .

$4 > 2$

Utforsking

Kva skjer dersom du multipliserer begge sider av ulikskapen med det negative talet $- 1$ ?

Løysing

Vi multipliserer begge tala (begge sidene i ulikskapen) med det negative talet $- 1$ . Vi får at $4 \cdot (- 1) = - 4 og 2 \cdot (- 1) = - 2$ . Men $- 4$ ligg til venstre for $- 2$ på tallinja og er då minst. Det betyr at

$- 4 < - 2$

Vi har altså måtta snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

På den same måten kan du ta utgangspunkt i to kva som helst ulike tal og multiplisere dei eller dividere dei med same negative talet. Du vil sjå at du alltid må snu ulikskapsteiknet for at ulikskapen framleis skal vere sann.

Dette betyr at dei reglane vi har for å løyse likningar av første grad (lineære likningar) òg kan brukast til å løyse lineære ulikskapar med den skilnaden at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer med eit negativt tal.

Vi kan addere og subtrahere med det same talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Vi kan multiplisere og dividere med det same positive talet på begge sider i ein ulikskap og framleis behalde den same ulikskapen mellom venstresida og høgresida.
Vi må snu ulikskapsteiknet dersom vi dividerer eller multipliserer med eit negativt tal på begge sider av ulikskapsteiknet.

Døme

Vi løyser ulikskapen $2 x + 3 < 4 x + 9$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 & < & 4 x + 9 Vi subtraherer 4 x og 3 på begge sider . \\ 2 x + 3 - 4 x - 3 & < & 4 x + 9 - 4 x - 3 Vi trekkjer saman like ledd . \\ - 2 x & < & 6 Vi dividerer med - 2 på begge sider \\ og snur ulikskapsteiknet . \\ x & > & - 3 \end{array}$

For alle verdiar av $x$ større enn $- 3$ er ulikskapen sann. Prøv til dømes å setje inn 0 i den opphavlege ulikskapen. Prøv så å setje inn $- 4$ .

Grafisk løysing av ulikskapar

Vi bruker dømet over. Vi kan sjå på det som står på kvar side av ulikskapsteiknet i ein ulikskap som ein funksjon av $x$ . Vi kan kalle funksjonane $f$ og $g$ .

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x + 3 \\ g (x) & = & 4 x + 9 \end{array}$

Då kan vi skrive ulikskapen som

$f (x) < g (x)$

Funksjonane kan vi teikne anten for hand eller med GeoGebra. I GeoGebra skriv vi inn funksjonane i algebrafeltet.

Grafen til funksjonane f av x er lik 2 x pluss 3 og g av x er lik 4 x pluss 3 er teikna i eit koordinatsystem for x-verdiar mellom minus 4 og minus 2. Grafane er to rette linjer som har eit skjeringspunkt. Skjeringspunktet har koordinatane minus 3 og minus 3. Grafen til f ligg under grafen til g til høgre for skjeringspunktet. Illustrasjon.

I dette tilfellet får vi to rette linjer der grafen til $f$ er heiltrekt mens grafen til $g$ er stipla. Vi har òg teikna inn skjeringspunktet mellom grafane. Sjå figuren.

Oppgåve

Studer grafane. Oppgåva spør etter når funksjonen $f$ er mindre enn funksjonen $g$ . Korleis ser vi kva som er løysinga på ulikskapen?

Løysing

Vi må finne for kva $x$ -verdiar grafen til $f$ ligg under grafen til $g$ . Det gjer han for $x$ -verdiar større enn skjeringspunktet. Ulikskapen er altså oppfylt for $x$ -verdiar større enn $- 3$ , noko som stemmer med kva vi fann ved rekning for hand.

Alternativ grafisk løysing

I eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 1 og y-aksen går frå minus 3 til 3 er området til høgre for den loddrette linja som skjer x-aksen i minus 3, skravert. Illustrasjon. — Grafisk illustrasjon av løysinga på ulikskapen

Vi kan òg få fram eit grafisk bilete av løysinga av ulikskapen ved å skrive heile ulikskapen inn i algebrafeltet. Då set GeoGebra farge på den delen av grafikkfeltet som er løysing av ulikskapen, nemleg det området der $x > - 3$ , sjå biletet.

Løysing med CAS

CAS-utrekning i GeoGebra. Det er skrive inn 2 x pluss 3 er større enn 4 x pluss 9. Svaret med Løys er x er større enn minus 3. Skjermdump.

Ved CAS i GeoGebra skriv vi inn ulikskapen og trykkjer på knappen $x_{}^{} =$ . Alternativt kan vi bruke kommandoordet "Løys":

Løys(2x+3>4x+9)

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 08.06.2021