Ulikskapar av andre grad

Løysing ved rekning for hand:

Denne ulikskapen er ferdig ordna. Vi finn først nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-4x-12& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4·1·(-12)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{64}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \vee x=6\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket $x²-4x-12$ er lik 0 når  $x=-2$  og når  $x=6$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for $x$-verdiar i intervalla $\langle \leftarrow , -2\rangle$, $$ ⟨-2, 6⟩$$ og $⟨6, \to ⟩$.

For $$ x=-3$$  får vi

$$ {\left(-3\right)}^2-4·\left(-3\right)-12=9+12-12=9>0$$  (Uttrykket er positivt.)

For $$ x=0$$  får vi

$$ $ 0^2-4·0-12=-12<0$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $$ x=7 $$ får vi

$$ $ $ 7^2-4·7-12=49-28-12=9>0$$$$  (Uttrykket er positivt.)

Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av $x$ det stemde at $$ $ x^2-4x-12<0$$$. Testen viser at dette er oppfylt i intervallet mellom nullpunkta. Ulikskapen har løysinga

$x\in ⟨-2, 6⟩$

Dette ser vi òg utan testing. Andregradsleddet i uttrykket er positivt, som betyr at grafen til uttrykket har eit botnpunkt. Då må uttrykket vere mindre enn null mellom nullpunkta og ikkje andre stader.

Grafisk løysing:

Vi set  $$ f\left(x\right)=$ x^2-4x-12$$$, teiknar grafen i GeoGebra og finn nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter når funksjonen $$ f$$ er mindre enn null. Det er den delen av grafen som er under $$ x$$-aksen som vi må sjå etter. Det er området mellom $$ -2$$ og 6, og vi får den same løysinga som ved rekning for hand.

Løysing med CAS:

Løysing ved rekning:

Vi finn først nullpunkta.

$$ \begin{array}{rcl}x-4x^2& = & 0\\ & & \\ x(1-4x)& =& 0\\ & & \\ x& =& 0 \vee 1-4x=0\\ & & \\ x& =& 0 \vee x=\frac{1}{4}\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket  $$ x-4x^2$$  er lik 0 når  $x=0$  og når  $$ x=\frac{1}{4}$$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Sidan andregradsleddet i uttrykket er negativt, betyr det at grafen til uttrykket har eit toppunkt. Uttrykket er derfor større enn 0 mellom nullpunkta. Ulikskapen har derfor løysinga $x\in ⟨0, \frac{1}{4}⟩$.

Dersom du er usikker, kan du teste med $$ x$$-verdiar mellom og utanfor nullpunkta slik vi gjorde i oppgåve a).

Grafisk løysing:

Vi set  $$ f\left(x\right)=x-4x^2$$, teiknar grafen i GeoGebra og finn nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter når funksjonen $$ f$$ er større enn null. Det er den delen av grafen som er over $$ x$$-aksen som vi må sjå etter. Det er området mellom 0 og 0,25, og vi får den same løysinga som ved rekning for hand.

Løysing med CAS:

Løysing ved rekning for hand:

Vi finn først nullpunkta.

$$ \begin{array}{rcl}2x^2+5x-3& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·\left(-3\right)}}{2·2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm 7}{4}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=\frac{1}{2}\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket  $$ 2x^2+5x-3$$  er lik $0$ når  $x=-3$  og når  $$ x=\frac{1}{2}$$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn.

Sidan andregradsleddet i uttrykket er positivt, betyr det at grafen til uttrykket har eit botnpunkt. Uttrykket er derfor større enn 0 utanfor området mellom nullpunkta. Ulikskapen spør òg etter når uttrykket er lik 0, så nullpunkta skal vere med i løysinga. Ulikskapen har derfor løysinga  $$ $ x\le -3 \vee x\ge \frac{1}{2}$$$. Dette kan vi skrive som  $$ $ x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [\frac{1}{2},\to ⟩$$$, der teiknet $$ \cup $$ betyr "union", eller "unionen av to mengder". (Merk at vi bruker hakeparentesane [ og ] for å markere at tala $$ -3$$ og $$ \frac{1}{2}$$ skal vere med i løysinga.)

Grafisk løysing:

Vi set  $$ f\left(x\right)=$ 2x^2+5x-3$$$, teiknar grafen i GeoGebra og finn nullpunkta med verktøyet "Nullpunkt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter når funksjonen f er større enn eller lik null. Det er den delen av grafen som er over x-aksen inkludert nullpunkta som vi må sjå etter. Det er når  $$ x\le -3$$  eller når  $$ x>\frac{1}{2}$$, som vi fann ved rekning for hand.

Løysing med CAS:

Vi viser berre løysing ved rekning her.

Løysing ved rekning for hand:

Vi finn først nullpunkta.

$$ $ \begin{array}{rcl}-x^2-x+6 & =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-3\right)·6}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm 5}{-2}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=2\end{array}$$$

Ulikskapen spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Sidan andregradsleddet er negativt og grafen til uttrykket har eit toppunkt, vil løysinga vere området utanfor området mellom nullpunkta, men inkludert nullpunkta. Løysinga er  $$ $ x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [2,\to ⟩$$$.

Løysing med CAS:

Vi viser berre løysing ved rekning her.

Løysing ved rekning for hand:

Her manglar førstegradsleddet. Då slepp vi å bruke abc-formelen når vi skal finne nullpunkta.

$$ $ $ \begin{array}{rcl}-3x^2+27 & =& 0\\ & & \\ -3x^2& =& -27 | :\left(-3\right)\\ & & \\ x^2& = & 9\\ & & \\ x& =& -\sqrt{9} \vee x=\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& -3 \vee x=3\end{array}$$$$

Ulikskapen spør etter når uttrykket er større enn 0. Sidan andregradsleddet er negativt, har grafen til uttrykket eit toppunkt, og løysinga blir området mellom nullpunkta.

Løysinga er  $$ $ x\in ⟨-3, 3⟩$$$

Løysing med CAS:

Vi viser berre løysing ved rekning her.

Løysing ved rekning for hand:

Vi finn først nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-8x+15& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{8\pm \sqrt{64-4·1·15}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{8\pm 2}{2}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=5\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket  $$ x^2-8x+15$$  er lik 0 når  $x=3$  og når $x=5$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Ulikskapen spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Sidan andregradsleddet er positivt og grafen til uttrykket derfor har eit botnpunkt, må løysinga på ulikskapen vere området mellom nullpunkta. Ulikskapen har derfor løysinga  $x\in [3, 5]$.

Løysing med CAS:

Løysing ved rekning for hand:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcl} 1& > & x^2\\ & & \\ -x^2+1& >& 0\end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}-x^2+1& = & 0\\ & & \\ -x^2& =& -1\\ & & \\ x^2& =& 1\\ & & \\ x& =& -1 \vee x=1\end{array}$

Vi veit no at uttrykket  $$ -x^2+1$$  er lik 0 når  $x=-1$  og når  $x=1$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Den ordna ulikskapen spør etter når uttrykket er større enn 0. Sidan andregradsleddet er negativt, har grafen til uttrykket eit toppunkt. Løysinga må derfor vere området mellom nullpunkta. Ulikskapen har løysinga $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Grafisk løysing:

Vi vel å bruke den opphavlege ulikskapen, ikkje den ordna varianten. Vi set  $$ f\left(x\right)=1$$  og  $$ g\left(x\right)=x^2$$, teiknar grafane med GeoGebra og finn skjeringspunktet mellom grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter når grafen til $$ f$$ ligg over grafen til $$ g$$. Det er området mellom skjeringspunkta. Løysinga blir derfor det same som ved rekning for hand.

Løysing med CAS:

Vi viser berre løysing ved rekning her.

Løysing ved rekning for hand:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcl}-x& \le & -x^2+6\\ & & \\ x^2-x-6& \le & 0\end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{}\\ & & \\ & =& \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \vee x=3\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket  $$ x^2-x-6$$  er lik 0 når  $x=-2$  og når  $x=3$. Det er berre for desse verdiane av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Den ordna ulikskapen spør etter når uttrykket er mindre enn eller lik 0. Grafen til uttrykket har eit botnpunkt, som betyr at løysinga må vere området mellom nullpunkta. Ulikskapen har løysinga $x\in [-2, 3]$.

Løysing med CAS:

Løysing ved rekning for hand:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$\begin{array}{rcl}1-2x& \ge & -x^2\\ & & \\ x^2-2x+1& \ge & 0\end{array}$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x+1& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·1}}{}\\ & & \\ & =& \frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}\\ & & \\ & =& \frac{2}{2}=1\\ & & \end{array}$$

Her er det berre eitt nullpunkt. Vi veit no at uttrykket  $$ x^2+2x+1$$  er lik 0 når  $x=1$. Det er berre for denne verdien av $x$ at uttrykket kan skifte forteikn. Sidan det ikkje er fleire nullpunkt og grafen til uttrykket har eit botnpunkt, må dette botnpunktet vere det same som nullpunktet. Uttrykket vil derfor alltid vere større enn eller lik 0. Løysinga er alle reelle tal, og vi skriv løysinga slik:

$x\in \mathrm{ℝ}$

$$ \mathrm{ℝ}$$ betyr "mengda av alle reelle tal".

Grafisk løysing:

Vi vel å bruke den opphavlege ulikskapen, ikkje den ordna varianten. Vi set  $$ f\left(x\right)=1-2x$$  og  $$ g\left(x\right)=-x^2$$, teiknar grafane med GeoGebra og finn skjeringspunktet mellom grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter når grafen til $$ f$$ ligg over eller oppå grafen til $$ g$$. Det gjer han overalt sidan det berre er eitt skjeringspunkt. Løysinga blir derfor alle reelle tal, det same som ved rekning for hand.

Løysing med CAS:

Merk måten GeoGebra skriv løysinga på her.

Løysing ved rekning for hand:

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side.

$-x^2+2x-2\ge 0$

Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}-x^2+2x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}\end{array}$$

Her er det ingen reelle løysingar. Uttrykket har altså ingen nullpunkt, og det er derfor ingen stader uttrykket kan skifte forteikn. Grafen til uttrykket må derfor anten alltid liggje over $$ x$$-aksen eller under $$ x$$-aksen. Sidan andregradsleddet er negativt, veit vi at grafen til uttrykket har eit toppunkt, men er uavgrensa nedover. Uttrykket vil derfor vere negativt for alle verdiar av $x$, og ulikskapen har inga løysing.

Grafisk løysing:

Vi vel å bruke den opphavlege ulikskapen, ikkje den ordna varianten. Vi set  $$ f\left(x\right)=2x+3$$  og  $$ g\left(x\right)=x^2+5$$, teiknar grafane med GeoGebra og prøver å finne skjeringspunkt mellom grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Vi får ingen skjeringspunkt. Ulikskapen spør etter når grafen til $$ f$$ ligg over eller oppå grafen til $$ g$$. Det gjer han aldri. Ulikskapen har derfor inga løysing, som vi òg fann over.

Løysing med CAS:

Hugs at overskot er skilnaden mellom inntekter og kostnader.

Overskot er differansen mellom inntekter og kostnader, og overskotet $O$ er derfor gitt ved

$O\left(x\right)=I\left(x\right)-K\left(x\right)$

Oppgåva kan reknast for hand, men vi vel å løyse med CAS der vi skriv inn funksjonane $$ K$$ og $$ I$$ først.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Set opp ein ulikskap med $$ O\left(x\right)$$.

Vi må løyse ulikskapen  $$ O\left(x\right)>1 000$$. No har vi fordel av å ha løyst oppgåve a) med CAS, og vi held fram med å bruke CAS.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Bedrifta må produsere meir enn 44 einingar og mindre enn 136 einingar for at overskotet skal bli større enn 1 000 kroner.

Når bedrifta går med overskot, er  $$ O\left(x\right)>0$$.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Bedrifta må produsere meir enn 11 einingar og mindre enn 169 einingar for å gå med overskot.

Vi har at overskotsfunksjonen er ein andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Det betyr at grafen til funksjonen har eit toppunkt. Det betyr vidare at når vi set overskotsfunksjonen lik ein verdi (altså set opp ei likning), vil alltid funksjonen ha høgare verdi for $$ x$$-verdiar mellom dei to løysingane. Altså kunne vi ha løyst oppgåvene b) og c) utan å løyse ein ulikskap.

Når vi klipper bort kvadrat med sidekant lik $$ x$$, vil måla på eskebotnen vere $$ 2x$$ kortare enn yttermåla på papplata. Måla på eskebotnen blir derfor som på figuren nedanfor.

Vi finn volumet ved å multiplisere arealet av eskebotnen med høgda av eska, som er $$ x$$. Vi løyser oppgåva med CAS.

Volumfunksjonen blir altså ein tredjegradsfunksjon.

Vi kan ikkje klippe bort meir enn halve sidekanten av pappstykket. Den minste sidekanten er 40 cm, altså må vi klippe bort mindre enn 20 cm for at det skal bli ei eske.

Hugs å ha samsvarande måleiningar når du reknar.

Vi ser på måleiningane først. Volumet vi skal samanlikne med, er oppgitt i L (liter). I volumfunksjonen har vi multiplisert saman tre lengder som blir målte i cm. Det betyr at måleininga til volumfunksjonen er cm³. Då får vi at

$$ 5 \mathrm{L}=5 {\mathrm{dm}}^3=5 000 {\mathrm{cm}}^3$$

For å svare på spørsmålet, må vi løyse ulikskapen

$$ V\left(x\right)>5 000$$

Vi løyser oppgåva med CAS.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Løysinga seier at $$ x$$ må vere mellom 3,54 og 11,99, eller at $$ x$$ må vere større enn eller lik 29,48. (Det er altså to område som er løysing av ulikskapen.) Frå oppgåve b) har vi at vi må klippe bort mindre enn 20 cm for at det skal bli ei eske.

Vi må klippe bort kvadrat med sidekant mellom 3,54 cm og 12 cm for at volumet av den eska vi får, skal vere minst 5 L.

$$ x^2$$ kan aldri bli negativ. Uttrykket  $$ 1-x^2$$  blir dermed aldri større enn 1.

Verken$$ (x+1{)}^2$$ eller $$ (x-1{)}^2$$ kan bli mindre enn 0.

Test uttrykket ved å setje inn $$ x$$-verdiar i intervalla på alle sider mellom nullpunkta.

Det er berre i nullpunkta at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek derfor stikkprøver for $x$-verdiar i intervalla $$ ⟨\leftarrow ,-1⟩⟨-1,1⟩,⟨1,3⟩$$ og $$ ⟨3,\to ⟩$$. Vi vel $$ x$$-verdiane $$ -2, 0, 2$$ og $$ 4$$.

For $$ x=-2$$  får vi

$$ $ $ {\left(-2\right)}^3-3·{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+3=-8-12+4+3=-13<0$$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $$ x=0$$  får vi

$$ $ 0^3-3·0^2-0+3=3>0$$$  (Uttrykket er positivt.)

For  $$ x=2$$  får vi

$$ $ $ 2^3-3·2^2-2+3=8-12-2+3=-3<0$$$$  (Uttrykket er negativt.)

For  $$ x=4$$  får vi

$$ $ $ 4^3-3·4^2-4+3=64-48-4+3=15>0$$$$  (Uttrykket er positivt.)

Ulikskapen spør etter når uttrykket er større enn null. Det er i dei intervalla der testane gav eit positivt tal som resultat.

Løysinga på ulikskapen er  $$ x\in \langle -1,1\rangle \cup ⟨3,\to ⟩$$.