Ulikskapar av andre grad

Vi skal løyse ulikskapen

$x^2<5x-4$

Her kan vi ikkje bruke dei vanlege metodane vi bruker når vi løyser ulikskapar av første grad.

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får null på høgre side, ikkje ulikt slik vi gjer med andregradslikningar.

$x^2-5x+4<0$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Denne ulikskapen har den same løysinga som den øvste. Vi startar med å løyse den ordna ulikskapen grafisk. Vi set $$ f\left(x\right)$$ lik uttrykket på venstre side og teiknar grafen til funksjonen i GeoGebra. Den ordna ulikskapen spør etter når uttrykket på venstre side er mindre enn null. Grafisk betyr det når grafen til $$ f$$ ligg under $$ x$$-aksen. Vi finn nullpunkta til funksjonen med verktøyet "Nullpunkt". Frå GeoGebra får vi at nullpunkta er

$$ x=1 \vee x=4$$

Grafen ligg under $$ x$$-aksen når $$ x$$ er mellom desse to verdiane. Løysinga på ulikskapen kan vi derfor skrive som

$$ 1<x<4$$

Dette svaret er òg ein ulikskap, ein dobbel ulikskap, som seier at $$ x$$ skal vere større enn 1 og samtidig mindre enn 4. Vi kan òg skrive løysinga som

$$ x\in \langle 1,4\rangle $$

Skrivemåten betyr "x er element i intervallet ⟨1, 4⟩", altså at $$ x$$ er med i intervallet frå 1 til 4.

Kvifor er ikkje tala 1 og 4 med i løysinga?

Korleis skal vi så gjere dette ved rekning for hand utan å teikne grafen? Vi kan i alle fall starte med å finne ut når uttrykket på venstre side av den ordna ulikskapen er lik null ved å løyse andregradslikninga

$$ $ x^2-5x+4=0$$$

Vi bruker abc-formelen.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-5x+4 & = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 3}{2}\\ & & \\ x& =& 4 \vee x=1\end{array}$$

Vi veit no at uttrykket $x^2-5x+4$ er lik 0 når $x=1$ og når $x=4$.

Problemet er at vi veit ikkje om uttrykket er større eller mindre enn null når vi til dømes er mellom nullpunkta. Det vi kan gjere, er å teste uttrykket ved å setje inn $$ x$$-verdiar på kvar side av nullpunkta og sjå om vi får eit svar som er større eller mindre enn null. Vi bruker då at grafen til ein slik funksjon berre kan skifte forteikn i nullpunkta, noko som gjeld for alle polynomfunksjonar slik som vi har her.

Det betyr at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle $x$-verdiar i kvart av dei tre intervalla $⟨\leftarrow , 1⟩,⟨1, 4⟩$ og $⟨4, \to ⟩$. Vi testar uttrykket for $x$-verdiane 0, 2 og 5, som ligg i kvart sitt intervall.

For $x=0$ får vi

$$ 0^2-5·0+4=4>0$$  (Uttrykket er positivt.)

For $x=2$ får vi

$$ $ 2^2-5·2+4=-2<0$$$  (Uttrykket er negativt.)

For $x=5$ får vi

$$ $ 5^2-5·5+4=4>0$$$  (Uttrykket er positivt.)

Kvifor veit vi no at løysinga på ulikskapane er $$ x$$-verdiane mellom 1 og 4?

No har vi det vi treng for å skrive opp løysinga. Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av $x$ det stemde at $x^2<5x-4$. Det er det same som å finne ut når $x^2-5x+4<0$. Då er løysinga

$$ $ x\in ⟨1,4⟩$$$

som vi fann tidlegare.

I løysinga testa vi med $$ x$$-verdiar på kvar side av nullpunkta for å avgjere i kva intervall løysinga ligg. Kunne vi ha brukt kjende eigenskapar ved andregradsfunksjonen til å finne ut det same utan å teste?

Ved CAS i GeoGebra skriv vi den opphavlege ulikskapen rett inn og bruker knappen $\boxed{\underset{ }{\overset{ }{x}}=}$ . Då vil det sjå ut som vist nedanfor.

Vi ser at GeoGebra skriv svaret som ein dobbel ulikskap.

Vi kan òg skrive ulikskapen inn i kommandoen "Løys()":

Løys(x^2<5x-4)

Vi løyser ulikskapen grafisk på den same måten som vi gjorde med lineære ulikskapar.

Beskriv gangen i framgangsmåten for å løyse ulikskapen i dette dømet.

Gjennomfør den grafiske løysinga.

Løysing

Vi vel å gjere det med GeoGebra. Vi skriv inn funksjonane i algebrafeltet og finn skjeringspunkta mellom dei to grafane med verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-SA

Bilete: Bjarne Skurdal

Ulikskapen spør etter kvar grafen til $$ f$$ ligg under grafen til $$ g$$, som er når  $$ 1<x<4$$, som vi har sett tidlegare.

Eit siste spørsmål: Kva er skilnaden på den grafiske løysinga her og det vi gjorde grafisk lengre opp på sida under overskrifta "Utforsking av ulikskapen"?