Oppgåver og aktivitetar

Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Her kan du jobbe med oppgåver om momentan og gjennomsnittleg vekstfart. Den første oppgåva skal løysast for hand, resten kan løysast med hjelpemiddel.

VF-1

a) Eit pæretre vart 2,5 m høgare i løpet av 3 år.

Kor stor var den gjennomsnittlege vekstfarten til treet i dei 3 åra?

Løysing

Vi må rekne ut kor mange m høgare treet vart per år.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{2, 5 m}{3 år} = 0, 83 m / år$

Den gjennomsnittlege vekstfarten var 0,83 m/år.

b) Temperaturen sokk 6 gradar i løpet av 2 timar.

Kor mykje sokk han i gjennomsnitt per time?

Løysing

Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten. Hugs at $∆ y$ er negativ fordi temperaturen søkk.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{- 6 °}{2 h} = - 3 ° / h$

Temperaturen sokk i gjennomsnitt med 3 gradar per time.

c) Under eit kraftig snøvêr auka snødjupna frå 25 cm til 50 cm i løpet av 1,5 timar.

1) Kor mykje snødde det i gjennomsnitt per time?

Løysing

Vi reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten til snødjupna.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{∆ x} = \frac{50 cm - 25 cm}{1, 5 h} = 16, 7 cm / h$

Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.

2) Kva var snødjupna etter den første halve timen av snøvêret?

Løysing

Vi kan ikkje vite eksakt kva snødjupna var etter ein halvtime. Vi kan finne ein tilnærma verdi ved hjelp av den gjennomsnittlege vekstfarten.

$25 cm + 0, 5 h \cdot 16, 7 cm / h = 33, 3 cm$

Snødjupna var cirka 33 cm etter ein halv time.

d) Ein dag med mykje regn steig vasstanden i ei elv frå 1,34 m då klokka var 11.00, til 2,65 m klokka 15.00.

Kor mykje endra vasstanden seg i gjennomsnitt per minutt?

Løysing

Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til vasstanden. Vi byrjar med å rekne ut $∆ x$ , som skal målast i minutt.

$∆ x = 15 h - 11 h = 4 h = 4 \cdot 60 \min = 240 \min$

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{∆ x} = \frac{2, 65 m - 1, 34 m}{240 \min} = 0, 005 46 m / \min$

Sidan talet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi vel cm per minutt:

$0, 005 46 m / \min = 0, 005 46 \cdot 100 cm / \min = 0, 55 cm / \min$

Vasstanden steig med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.

e) Verdien til ein bil sokk frå 600 000 kroner då han var ny i 2016, til 200 000 kroner i 2020.

1) Kor mykje sokk bilen i verdi i gjennomsnitt per år?

Løysing

Vi må rekne ut den gjennomsnittlege vekstfarten til verdien på bilen.

$\frac{∆ y}{∆ x} = \frac{200 000 kr - 600 000 kr}{(2020 - 2016) år} = - 100 000 kr / år$

Bilen sokk i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.

2) Kva var verdien på bilen eitt år etter at han var ny?

Løysing

Igjen kan vi ikkje vite eksakt kva verdien på bilen var etter eitt år, men vi bruker den gjennomsnittlege vekstfarten til å finne ein tilnærma verdi.

$600 000 kr + 1 år \cdot (- 100 000 kr / år) = 500 000 kr$

Verdien på bilen etter eitt år var cirka 500 000 kroner.

Kommentar: Nye bilar søkk mest i verdi det første året. Deretter søkk verdien mindre og mindre for kvart år. Mest sannsynleg vil derfor verdien på bilen vere noko mindre enn 500 000 kroner etter eitt år.

VF-2

Ein funksjon $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 2$ .

a) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til $f$ når $x$ veks frå 0,5 til 2 grafisk, ved rekning for hand og med CAS.

Løysing

Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:

Vi skriv inn funksjonen $f$ og punkta $(0.5, f (0.5))$ og $(2, f (2))$ , kalla $A$ og $B$ på figuren nedanfor. Så bruker vi verktøyet "Linje" til å teikne linja mellom $A$ og $B$ og verktøyet "Stigning" til å finne stigningstalet til linja. (Vi kan òg lese av stigningstalet til linja av formelen for linja.)

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er teikna for x-verdiar mellom minus 0,5 og 2,5. Punkta A med koordinatar 0,5 og f av 0,5 og B med koordinatar 2 og f av 2 er teikna inn. Den rette linja mellom punkta A og B er teikna inn og har stigningstalet 2,5.

Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten er 2,5 når $x$ veks frå 0,5 til 2.

Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (2) - f (0, 5)}{2 - 0, 5} \\ = & \frac{2^{2} + 2 - (0, 5^{2} + 2)}{2 - 0, 5} \\ = & \frac{6 - 2, 25}{1, 5} \\ = & 2, 5 \end{array}$

Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er funksjonen f av x kolon er lik x i andre pluss 2 skriven inn. På linje 2 er det skrive parentes f av 2 minus f av 0,5 parentes slutt delt på parentes 2 minus 0,5 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 2,5.

b) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til $f$ når $x$ veks frå 0 til 1,5 grafisk, ved rekning for hand og med CAS.

Løysing

Gjennomsnittleg vekstfart grafisk:

Vi endrar på punkta $A$ og $B$ i den førre oppgåva til $(0, f (0))$ og $(1.5, f (1.5))$ på figuren nedanfor.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er teikna for x-verdiar mellom minus 0,5 og 2. Punkta A med koordinatar 0 og f av 0 og B med koordinatar 1,5 og f av 1,5 er teikna inn. Den rette linja mellom punkta A og B er teikna inn og har stigningstalet 1,5.

Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 0 til 1,5, er 1,5.

Gjennomsnittleg vekstfart ved rekning for hand:

$\begin{array}{rcl} \frac{Δ y}{Δ x} & = & \frac{f (1.5) - f (0)}{1.5 - 0} \\ = & \frac{1, 5^{2} + 2 - (0^{2} + 2)}{1, 5} \\ = & \frac{1, 5^{2}}{1, 5} \\ = & 1, 5 \end{array}$

Gjennomsnittleg vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 3 er det skrive parentes f av 1,5 minus f av 0 parentes slutt delt på parentes 1,5 minus 0 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 1,5.

c) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ grafisk og med CAS.

Løysing

Momentan vekstfart grafisk:

Vi skriv inn punktet $(1, f (1))$ . Så bruker vi verktøyet "Tangentar" til å teikne tangenten i dette punktet. Til slutt bruker vi verktøyet "Stigning" til å finne stigningstalet til linja og dermed den momentane vekstfarten til grafen i dette tangeringspunktet.

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss 2 er teikna for x-verdiar mellom minus 0,5 og 2. Punktet med koordinatane 1 og 3 ligg på grafen. Tangenten til grafen i dette punktet er teikna inn. Tangenten har stigningstalet a er lik 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 1$ , er 2.

Momentan vekstfart med CAS:

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 4 er det skrive Stigning parentes Tangent parentes 1 komma, f parentes slutt parentes slutt. Svaret er 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = 1$ , er 2.

d) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = - 1$ .

Løysing

Vi vel å bruke CAS.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 5 er det skrive Stigning parentes Tangent parentes minus 1 komma, f parentes slutt parentes slutt. Svaret er minus 2.

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 1$ , er $- 2$ .

VF-3

Funksjonane $g$ og $h$ er gitt ved funksjonsuttrykka nedanfor. For kvar av funksjonane skal du først teikne grafen. Deretter vel du fritt 2 punkt på grafen og reknar ut den gjennomsnittlege vekstfarten mellom desse punkta.

a) $g (x) = 2 x + 4$

Løysing

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til g av x er lik 2 x pluss 4 er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 4. To punkt er teikna inn: Punkt A har koordinatane minus 2 og 0, mens punkt B har koordinatane 0 og 4.

Vekstfart $= \frac{4 - 0}{0 - (- 2)} = \frac{4}{2} = 2$ .

b) $h (x) = - x - 8$

Løysing

Illustrasjon av koordinatsystem. Grafen til h av x er lik minus x minus 8 er teikna for x-verdiar mellom minus 10 og 6. To punkt er teikna inn: Punkt A har koordinatane minus 10 og 2, mens punkt B har koordinatane 0 og minus 8.

Vekstfart $= \frac{- 4 - 2}{- 4 - (- 10)} = \frac{- 6}{6} = - 1$ .

c) Kan du løyse oppgåve a) og b) utan å rekne eller teikne graf? Forklar i tilfelle korleis.

Løysing

Sidan ei rett linje har same stigning overalt, vil den gjennomsnittlege vekstfarten bli lik stigningstalet til linja uansett kva punkt vi bruker i utrekninga.

d) Kva kan du seie om den momentane vekstfarten til dei to linjene?

Løysing

Den momentane vekstfarten til linjene må òg vere den same overalt og lik stigningstalet til linjene sidan vekstfarten er den same overalt.

VF-4

Foto av eit blomstrande tre. — Morelltre

Funksjonen

$h (x) = - 0, 003 x^{3} + 0, 09 x^{2} + 1$

viser høgda i meter til eit morelltre dei 20 første åra $x$ år etter at det vart planta 1. mai 2002.

a) Finn grafisk kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Løysing

Oppgåva spør etter gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen mellom $x = 8$ og $x = 13$ . Vi skriv inn funksjonen $h$ i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon", skriv inn punkta $(8, h (8))$ og $(13, h (13))$ og bruker verktøyet "Linje" til å teikne linja (sekanten) gjennom dei to punkta.

Illustrasjon som viser eit koordinatsystem der funksjonen h av x er lik minus 0 komma 0 0 3 x i tredje pluss 0 komma 0 9 x i andre pluss 1 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 20. Punktet A med koordinatane 8 og 5,22 og punktet B med koordinatane 13 og 9,62 er teikna inn. Linja gjennom dei to punkta er teikna og har likninga y er lik 0,88 x minus 1,81.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten $y$ ) at treet i gjennomsnitt vaks 88 cm per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.

Vi kunne òg ha brukt verktøyet "Stigning" her.

b) Finn vidare kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

Løysing

Vi skriv inn punkta $(17, h (17))$ og $(20, h (20))$ og bruker verktøyet "Linje" til å teikne linja (sekanten) gjennom dei to punkta.

Vi ser grafisk (stigningstalet til sekanten $y$ ) at treet i gjennomsnitt vaks 24 cm per år i perioden frå 1. mai 2019 til 1. mai 2022.

c) Kor mykje vaks treet per år 1. mai 2012?

Løysing

Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at $x = 10$ . Vi vel å løyse oppgåva med CAS.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Tangent parentes 10 komma, h parentes slutt. Svaret er y er lik 9 tidelar multiplisert med x minus 2.

Treet vaks med 90 cm per år 1. mai 2012.

Foto av kronhjort med tre hinder og ein kalv.

VF-5

(Eksamen 1P våren 2013, omarbeidd)

Funksjonen $h$ gitt ved

$h (t) = 3, 25 t^{3} - 50 t^{2} + 170 t + 700$

var ein god modell for hjortebestanden i ein kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det $h (t)$ hjortar i kommunen $t$ år etter 1. januar 1990.

a) Teikn grafen til $h$ for $0 \leq t \leq 10$ .

Løysing

Vi teiknar grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".

Illustrasjon som viser eit koordinatsystem der grafen til funksjonen h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 er teikna.

b) Når var hjortebestanden størst, og kor mange hjortar var det i kommunen då?

Løysing

Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finn toppunktet på grafen til $h$ .

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Han var då på 867 dyr.

c) Løys likninga $h (t) = 850$ grafisk, og forklar kva løysinga fortel om hjortebestanden.

Løysing

Vi legg inn ei linje $y = 850$ i same koordinatsystem som grafen til $h$ . Så finn vi skjeringspunkta mellom denne linja og grafen til $h$ ved å bruke kommandoen "Skjering mellom to objekt".

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil seie midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.

d) Kor stor var den gjennomsnittlege endringa i talet på hjortar per år i perioden 1. januar 1994–1. januar 1998?

Løysing

Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finn følgande:

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive parentes h av 8 minus h av 4 parentes slutt delt på parentes 8 minus 4 parentes slutt. Svaret med tilnærming er minus 66.

Vi finn at hjortebestanden søkk i gjennomsnitt med 66 dyr kvart år i denne perioden.

e) Kor stor var veksten per år i hjortebestanden 1. januar 1991?

Løysing

Oppgåva spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ .

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 2 er det skrive Stigning parentes Tangent parentes 1 komma, h parentes slutt parentes slutt. Svaret er 79,75.

Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.

VF-6

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$

a) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 2.

Løysing

Vi skriv inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstalet til linja mellom dei to punkta.

Skjermutklipp av CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 skriv vi inn funksjonen f av x kolon er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3. På linje 2 er det skrive parentes f av 2 minus f av 1 parentes slutt delt på parentes 2 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 2,5.

Den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 2, er 2,5.

b) Finn den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 1,1.

Løysing

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 3 er det skrive parentes f av 1,1 minus f av 1 parentes slutt delt på parentes 1,1 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 1,65.

Den gjennomsnittlege vekstfarten når $x$ veks frå 1 til 1,1, er 1,65.

c) Samanlikn svara i a) og b). Kva for eit av desse svara gir ein mest korrekt verdi for den momentane vekstfarten når $x = 1$ ?

Løysing

Vi vel å teikne grafen til $f$ inkludert dei to sekantane.

Illustrasjon som viser eit koordinatsystem der grafen til funksjonen f av x er lik minus 0,5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 er teikna for x-verdiar mellom 0 og 2,2. Tre punkt på grafen er teikna inn. Det første har koordinatane 1 og 2,5, det andre har koordinatane 1,1 og 2,66, og det tredje har koordinatane 2 og 5. Linja gjennom dei to første punkta er teikna inn og har likninga y er lik 1,65 x pluss 0,86. Linja gjennom det første og det tredje punktet er også teikna inn. Likninga for denne linja er y er lik 2,5 x.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar $x$ auke frå 1 til 1,1.

d) Vil det alltid vere slik at vi får ei betre tilnærming til den momentane vekstfarten når avstanden ut til det andre punktet blir mindre?

Løysing

Det vil ikkje alltid vere slik. Studer figuren nedanfor der vi har teikna ein tredjegradsfunksjon $f$ .

Illustrasjon av koordinatsystem. Ein tilfeldig tredjegradsfunksjon er teikna frå x er lik minus 2 til x er lik 7. To punkt A og B på grafen er teikna inn. Tangenten t til grafen i punktet A er teikna. I tillegg er sekanten s gjennom A og B teikna inn.

Tangenten $t$ til grafen til funksjonen $f$ i punktet $A$ er teikna inn. Stigningstalet til sekanten gjennom $A$ og $B$ er ikkje ei spesielt god tilnærming til den momentane vekstfarten til funksjonen i $A$ . Dersom vi flyttar $B$ ut til $(7, f (7))$ , får vi ei mykje betre tilnærming. Men flyttar vi $B$ endå lenger ut, blir tilnærminga dårlegare igjen.

e) Finn til slutt den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ .

Løysing

Den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 1$ , er 1,5.

VF-7

Forskarar har undersøkt veksten til tre i eit bestemt skogområde. Det viser seg at høgda til eit tre, $h (t)$ , målt i meter tilnærma kan beskrivast med ein matematisk modell. Dei første åtte åra gjeld funksjonen

$h (t) = 0, 02 t^{3} - 0, 25 t^{2} + 1, 15 t + 0, 15$

der $t$ er talet på år etter utplanting.

a) Kor mykje vaks treet i gjennomsnitt frå år 1 til år 4?

Løysing

Vi må finne gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen i intervallet $[1, 4]$ . Vi reknar i CAS.

Skjermutklipp av utrekning med CAS i GeoGebra. På linje 1 er funksjonen h av t kolon er lik 0,02 t i tredje minus 0,25 t i andre pluss 1,15 t pluss 0,15 skriven inn. På linje 2 er det skrive parentes h av 4 minus h av 1 parentes slutt delt på parentes 4 minus 1 parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,32.

Treet vaks i gjennomsnitt 32 cm per år frå år 1 til år 4.

b) Kor stor var veksten til treet i år 4?

Løysing

Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måtar.

Alternativ 1

Vi kan sjå på forskjellen i høgde mellom år 4 og år 5.

Skjermutklipp av CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 3 er h av 5 minus h av 4 rekna ut. Svaret er tilnærma 0,12.

I år 4 vaks treet 12 cm.

Alternativ 2

Veksten det fjerde året er tilnærma lik den momentane vekstfarten når $x = 4$ , som er eit mål på veksten per år akkurat då.

Skjermutklipp av momentan vekstfart med CAS. På linje 3 er det skrive Stigning parentes Tangent parentes 4 komma, h parentes slutt parentes slutt. Svaret med tilnærming er 0,11.

Vi får omtrent det same svaret som i alternativ 1. I år 4 vaks treet 11 cm.

c) Skriv nokre ord om korleis høgda til treet endrar seg frå år til år.

Løysing

Vi teiknar grafen til funksjonen $h$ ved hjelp av kommandoen "Funksjon".

Illustrasjon av koordinatsystem der følgande graf er teikna inn: h av t er lik 0 komma 0 2 t i tredje minus 0 komma 25 t i andre pluss 1 komma 15 t pluss 0 komma 15.

Ut frå grafen til høgdefunksjonen kan vi lese følgande:
Treet veks raskt dei første to åra. Dei neste fire åra er veksten mindre. Dei siste to åra er veksten igjen mykje større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så minkar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter aukar veksten meir og meir.

CC BY-SASkrive av Bjarne Skurdal, Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 08.03.2023

Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

VF-1

VF-2

VF-3

VF-4

VF-5

VF-6

VF-7

Reglar for bruk