Nullpunkt med manuell bruk av halveringsmetoden

Denne sida er laga med inspirasjon frå eit undervisningsopplegg av Tom Jarle Christiansen og Rune Mathisen.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

På biletet ovanfor har vi brukt nullpunktsverktøyet i GeoGebra til å finne dei tre nullpunkta til funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x-1$

For nullpunktet lengst til høgre er $x=1,6$ ein tilnærma verdi. Når vi skal lage eit program til å finne ein tilnærma verdi for eit nullpunkt, må vi finne ein måte å prøve og feile på der vi veit at vi systematisk kjem nærare og nærare det rette svaret.

Diskuter

Kva kjenneteiknar eit nullpunkt sett bort ifrå at $f\left(x\right)=0$ for denne verdien?

Spørsmål

Gjeld regelen ovanfor for alle nullpunkt?

Ideen her er å bruke at grafen anten ligg over $x$-aksen til høgre for nullpunktet og under grafen til venstre for nullpunktet, eller det er motsett.

Spørsmål

Korleis kan vi finne ut om grafen ligg over eller under $x$-aksen for ein bestemd $x$-verdi?

Vi skal bruke halveringsmetoden til å gjette oss fram til nullpunktet til $f\left(x\right)$ som ligg lengst til høgre. Vi gjer det manuelt no i første omgang.

I halveringsmetoden må vi først ha eit intervall som det "rette talet" ligg i. Her betyr det at vi må finne eit intervall for $x$ som vi er sikre på at nullpunktet ligg innanfor. Dessutan må grafen til funksjonen $f\left(x\right)$ liggje over $x$-aksen for det eine endepunktet av intervallet og omvendt for det andre endepunktet.

Oppgåve

Kva er eit passande intervall som oppfyller krava over til nullpunktet lengst til høgre?

Oppgåve

Når vi bruker halveringsmetoden, gjettar vi alltid på den verdien som ligg midt i det aktuelle intervallet, det vi kallar midtpunktet til intervallet.

Kva for ein $x$-verdi gjettar vi på når intervallet er [1.5, 2]? Korleis kan vi rekne ut denne verdien?

Spørsmål

Korleis finn vi ut om $x=1,75$ er større eller mindre enn nullpunktet?

Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å rekne ut $f\left(1,75\right)$.

$$ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\\ \overline{)1}& & \\ & & \to \text{f}\left(\text{x}\right):=\frac{1}{3}{\text{x}}^3+\frac{1}{2}{\text{x}}^2-\text{x}-1\end{array}}$ $ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \text{f}\left(1.75\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx 0.568\end{array}}$$$$

Sidan svaret på linje 2 i CAS vart 0,57, veit vi at grafen ligg over $x$-aksen når $x=1,75$. Då veit vi samtidig at vi er til høgre for nullpunktet ved denne $x$-verdien.

Spørsmål

Kva blir det nye intervallet vi skal leite etter nullpunktet i?

Spørsmål

Kva blir den nye $x$-verdien vi gjettar på?

Spørsmål

Er $x=1,625$ større eller mindre enn nullpunktet?

Oppgåve

Skriv ein algoritme for korleis vi går fram når vi bruker halveringsmetoden her.

Oppgåve

Til no har vi gjort halveringsmetoden manuelt to gonger. Gjer halveringsmetoden éin gong til manuelt.

Spørsmål

Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden éin gong til, kva ville det nye intervallet ha vore då?

Dersom vi rundar av til éin desimal, får vi no det same resultatet for både den øvre og den nedre grensa i intervallet: 1,6. Dette stemmer med opplysningane på biletet øvst på sida der nullpunktet er oppgitt som $$ x=1,6$$. Det neste spørsmålet er: Kor mange gonger skal vi bruke halveringsmetoden før vi er nøgde med resultatet? Når er det bra nok? Uansett vil vi ikkje gjere dette manuelt lenger, men lage eit program som kan hjelpe oss.