Oppgåve

Andregradsfunksjonar

Oppgåvene kan løysast med alle hjelpemiddel.

3.3.1

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre minus 4 x pluss 3 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 2 til 7. Fire punkt på grafen er markert. Skjermutklipp. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

I koordinatsystemet har vi teikna grafen av funksjonen

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

og markert nokre punkt på grafen.

a) Skriv ned koordinatane til punkta A, B, C og D.

Vis fasit

$A (2, - 1) B (3, 0) C (0, 3) D (4, 3)$

b) Rekn ut $f (0), f (2), f (3) og f (4)$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \\ f (3) & = & 3^{2} - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \end{array}$

c) Forklar at koordinatane til punkta på grafen kan skrivast som

$A (2, f (2)), B (3, f (3)), C (0, f (0)), D (4, f (4))$

Vis fasit

Når vi reknar ut $f (2)$ , finn vi funksjonsverdien for $x = 2$ $f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ , dvs. punktet A på grafen. Eit punkt $(b, f (b))$ vil derfor alltid liggje på grafen til $f$ for alle verdiar for $b$ der funksjonen eksisterer.

3.3.2

Bestem kva for ein veg grafane til funksjonane krummar (smil :-) eller sur :-( ), og kvar dei skjer andreaksen, utan å teikne grafane.

a) $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$

Vis fasit

Talet framfor andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 12.

b) $g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Vis fasit

Talet framfor andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4.

c) $h (x) = - x^{2} - 8$

Vis fasit

Talet framfor andregradsleddet er negativt. Grafen vil vende den hole sida ned (sur) og vil då ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i $- 8$ .

d) $i (x) = 3 x^{2} + 12 x$

Vis fasit

Talet framfor andregradsleddet er positivt. Grafen vil vende den hole sida opp (smile) og vil då ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0.

e) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane av funksjonane i eit koordinatsystem.

Vis fasit

Fire grafar er teikna med GeoGebra i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 5 til 6. Det er grafane til f av x er lik x i andre minus 7 x pluss 12, g av x er lik minus 2 x i andre pluss 2 x pluss 4, h av x er lik minus x i andre minus 8 og i av x er lik 3 x i andre pluss 12 x. Grafane til f og i har eit botnpunkt mens grafane til g og h har eit toppunkt. Skjermutklipp. — Grafane i oppgåva. Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

3.3.3

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + x - 6$ for verdiar mellom $- 4$ og $3$ .

a) Teikn grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 6. Skjermutklipp. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

b) Finn botnpunktet på grafen til $f$ .

Vis fasit

Grafen til funksjonen f av x er lik x i andre pluss x minus 6 er teikna i et koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 6. Botnpunktet med koordinatane minus 0,5 og 6,25 er teikna inn. Skjermutklipp. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Eg bruker kommandoen "Ekstremalpunkt(f)" i GeoGebra. Botnpunktet er $(- 0.5, - 6.25) .$

c) Finn nullpunkta til $f$ .

Vis fasit

Eg bruker kommandoen "Nullpunkt(f)" i GeoGebra. Nullpunkta er $x = - 3$ og $x = 2$ .

d) Finn kvar grafen av $f$ skjer $x$ -aksen. Kva kallar vi desse skjeringspunkta?

Vis fasit

Grafen skjer $x$ -aksen for $x = - 3 og x = 2 .$ Skjeringspunkta blir kalla nullpunkt.

3.3.4

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekund er høgda $h$ meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen

$h (t) = 14, 1 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$ .

a) Teikn grafen til $h$ for dei første 3 sekunda.

Vis fasit

Grafen til funksjonen h av t er lik 14,1 t minus 4,9 t i andre pluss 1,8 er teikna for t-verdiar mellom 0 og 3. Toppunktet A har koordinatane 1,44 og 11,94. Nullpunktet C har koordinatane 3 og 0. Linja y er lik 10 er også teikna inn. Skjeringspunkta mellom linja og grafen til h er D med koordinatane 0,81 og 10 og E med koordinatane 2,07 og 10. Skjermutklipp. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

b) Når er ballen 10 meter over bakken?

Vis fasit

Eg teiknar linja $y = 10 .$ Eg finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Sjå punkta D og E i løysinga til oppgåve a). Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.

c) Når treffer ballen bakken?

Vis fasit

Eg finn nullpunktet med kommandoen "Nullpunkt(h)". Sjå punktet C i løysinga til oppgåve a). Ballen treffer bakken etter 3 sekund.

d) Når er ballen 15 meter over bakken?

Vis fasit

Vi ser av grafen i løysinga til oppgåve a) at ballen aldri når denne høgda.

e) Kor høgt når ballen, og når er ballen på sitt høgste punkt?

Vis fasit

Eg finn toppunktet med kommandoen "Ekstremalpunkt(h)". Sjå punkt A i løysinga til oppgåve a). Ballen når sitt høgste punkt etter ca 1,4 sekund og har då ei høgd på 12,0 meter over bakken.

3.3.5

Gitt grafane nedanfor.

Grafer — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Sett rett bokstav (A, B, C) framfor den andregradsfunksjonen du meiner høyrer til graf A, graf B og graf C. Prøv deg utan å teikne grafane. OBS! Tre av funksjonsuttrykka høyrer ikkje til nokon av grafane.

$\begin{array}{rcl} ^{} f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ ^{} f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ ^{} f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} B f (x) & = & x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & 2 x^{2} - 2 x + 2 \\ A f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x + 2 \\ f (x) & = & - 0, 5 x^{2} - 2 x - 6 \\ C f (x) & = & - x^{2} + 4 x - 6 \end{array}$

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5

Reglar for bruk av teksten "Andregradsfunksjonar"