Omvende funksjonar

Vi ser på funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$.

Set vi talet 3 inn for $$ x$$ i $$ f\left(x\right)$$, får vi ut talet 6: $$ f\left(3\right)=6$$. På same måte er $$ f\left(5\right)=10$$ og $$ f\left(8\right)=16$$.

Finst det ein rekneoperasjon som vi kan utføre på alle dei tre tala 6, 10 og 16 for å få dei tilbake til tala 3, 5 og 8?

Vi kan sjå at dersom vi set dei inn i funksjonen $$ g\left(x\right)=\frac{x}{2}$$, får vi dei ønskte tala:

$$ \begin{array}{cccccc} & g\left(6\right)=3& & g\left(10\right)=5& & g\left(16\right)=8\\ & & & & & \\ & g\left(f\left(3\right)\right)=3& & g\left(f\left(5\right)\right)=5& & g\left(f\left(8\right)\right)=8\end{array}$$

Generelt får vi at $$ g\left(f\left(x\right)\right)=x$$. Funksjonen $$ g$$ "gjer godt igjen" det funksjonen $$ f$$ gjer med $$ x$$.

Vi seier at $$ f$$ og $$ g$$ er omvende eller inverse funksjonar. Funksjonen$$ f $$sender$$ x $$til$$ 2x$$, mens den omvende funksjonen sender$$ 2x $$tilbake til$$ x$$.

Ein vanleg skrivemåte for den omvende funksjonen til$$ f $$er$$ f^{-1}$$.

Det betyr at vi kan skrive$$ g\left(x\right) $$som$$ f^{-1}\left(x\right)$$.

I dømet ovanfor var det ikkje så komplisert å sjå kva den omvende, eller inverse, funksjonen måtte vere, men vi kan òg finne den inverse funksjonen algebraisk.

Vi viser ein framgangsmåte du generelt kan bruke for å finne inverse funksjonar. Vi bruker dømet ovanfor.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Du set}& & f\left(x\right)=y.& & \\ & & & & \\ \text{Då er }& & y=2x.& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\frac{y}{2}.& & \text{Du løyser altså likninga med omsyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & f^{-1}\left(y\right)=\frac{y}{2}.& & \text{Sida } f^{-1}\left(y\right)=x.\end{array}$$

Vi kan no byte $$ y \text{med} x$$, som er den mest vanlege bokstaven for den variable, og vi får funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$$.

I GeoGebra kan du finne den omvende funksjonen ved å bruke kommandoen invers():

Nedanfor har vi teikna grafane til funksjonen  $$ f\left(x\right)=2x$$  og den tilhøyrande omvende funksjonen. Vidare har vi teikna grafen til  $$ y=x$$, eit tilfeldig punkt $$ A$$ på denne linja og ein normal til linja gjennom punkt $$ A$$. Vi har òg teikna skjeringspunkta $$ B$$ og $$ C$$ mellom normalen og grafane til $$ f$$ og den omvende funksjonen til $$ f$$.

Flytt punktet $$ A$$ på linja til  $$ y=x$$. Kva oppdagar du?

Uansett kvar punktet $$ A$$ er på linja $$ h$$, er  $$ AB=AC$$. Det betyr at grafen til $$ f$$ og grafen til den omvende funksjonen alltid ligg symmetrisk om linja  $$ y=x$$.

Ved å spegle grafen til $$ f$$ om linja  $$ y=x$$, får vi grafen til den omvende funksjonen.

Dersom $$ \left(x, y\right)$$ er eit punkt på grafen til $$ f$$, er $$ \left(y, x\right)$$ eit punkt på grafen til den omvende funksjonen. Desse punkta ligg symmetrisk om  $$ y=x$$.

Til dømes er $$ \left(2, 4\right)$$ eit punkt på grafen til $$ f$$ og $$ \left(4, 2\right)$$ eit punkt på grafen til $$ g$$. Flytt på punktet $$ A$$ på figuren, og sjekk om det stemmer.

Oppgåve

Følg prosedyren ovanfor, og gjer det same med grafane til funksjonane 

$$ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$

og

$$ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty , 0]$$ 

og dei omvende funksjonane deira.

Oppdagar du det same her?

Vi ser på eksponentialfunksjonen 

$$ f\left(x\right)=e^x , x\in \mathrm{ℝ}$$

og logaritmefunksjonen

$$ g\left(x\right)=\ln x , x\in \langle 0, \infty \rangle $$

Då er

$$ f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\ln x\right)=e^{\ln x}\stackrel{def}{=}x$$

og

$$ g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^x\right)=\ln e^x=x·\ln e=x·1=x$$

Dette viser at  $$ f\left(x\right)=e^x$$  og  $$ g\left(x\right)=\ln x$$  er omvende funksjonar.

Prøv å laste ned GeoGebra-arket over og endre funksjonane, så kan du sjå at det stemmer.

På oppgåvesida Utforsk omvende funksjoner kan du mellom anna bruke Python til å jobbe meir med omvende funksjonar før du går vidare.