Den deriverte til omvende funksjonar

La $$ g\left(x\right)$$ vere den omvende funksjonen til $$ f\left(x\right)$$. Då er $$ g\left(f\left(x\right)\right)=x$$. Vi deriverer begge sider av likninga. På venstre side bruker vi kjerneregelen. På høgre side får vi 1.

$$ $ \begin{array}{rcl}g\left(f\left(x\right)\right)& =& x\\ & \Downarrow & \\ {\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)}^{\text{'}}& =& x^{\text{'}} \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)f^{\text{'}}\left(x\right)& =& 1 \\ & \Downarrow & \\ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)& =& \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ & & \end{array}$$$

Den deriverte til den omvende funksjonen er med andre ord lik $$ \frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$.

Når vi veit dette, kan vi finne den deriverte til den omvende funksjonen i eit punkt ut frå den deriverte til funksjonen, utan å gå vegen om å fuinne den omvende funksjonen og så derivere denne. Dersom vi allereie kjenner den omvemde funksjonen, kan vi sjølvsagt derivere denne på vanleg måte.

Vi tek utgangspunkt i funksjonen

$$ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2, D_f=R$$

og finn $$ f\left(1\right), f^{\text{'}}\left(x\right) \mathrm{og} f^{\text{'}}\left(1\right)$$:

$$ \begin{array}{l}f\left(1\right)=\sqrt[3]{1}-2=1-2=-1\\ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}}=\frac{1}{3}\end{array}$$

Vi har no det vi treng for å finne den deriverte til den omvende funksjonen for $$ x=-1$$, $$ g^{\text{'}}(-1)$$ ut frå formelen:

$$ \begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(1\right)}\\ g^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\end{array}$$

Vi ser at vi har funne den deriverte til den omvende funksjonen i eit punkt, utan å måtte finne den omvende funksjonen.

Sidan $$ f$$ og $$ g$$ er omvende funksjonar, ligg grafane symmetrisk om linja $$ y=x$$. Då må òg tangentane til grafane i A og B (sjå grafen) liggje symmetrisk om denne linja. Vi ser geometrisk at tangentane har inverse stigingstal.

$$ g^{\text{'}}\left(-1\right)=3 \text{og} f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{3}$$

Legg merke til at vi kan teikne grafen til den omvende funksjonen ved å spegle grafen til $$ f$$ om linja $$ y=x$$.

Døme

Vi skal no vise at vi kan finne den deriverte til den omvende funksjonen i ein bestemd verdi, trass i at det er umogleg å finne den omvende funksjonen:

$$ f\left(x\right)=e^x+\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+9x-13 , D_f=\mathrm{ℝ}$$

$$ \begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+x^2-6x+9\\ \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x+{\left(x-3\right)}^2\end{array}$$

Uttrykket for den deriverte er alltid positivt, og det betyr at funksjonen er veksande i heile definisjonsområdet sitt og derfor har ein omvend funksjon $$ g$$.

Det er umogleg å finne den omvende funksjonen g, men det er likevel mogleg å finne til dømes $$ g^{\text{'}}\left(-12\right)$$. Det er fordi

$$ f\left(0\right)=e^0+\frac{1}{3}·0^3-3·0^2+9·0-13=-12$$

og

$$ g^{\text{'}}\left(-12\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(0\right)}=\frac{1}{e^0+{\left(0-3\right)}^2}=\frac{1}{1+9}=\frac{1}{10}$$.

Vi var her avhengige av å finne den x-en-verdien som gav funksjonen $$ f$$ verdien $$ -12$$.

For å finne den deriverte til den omvende funksjonen i ein bestemd verdi $$ a$$, $$ g^{\text{'}}\left(a\right)$$, må vi altså først finne den tilhøyrande x-verdien som gir $$ a$$ som funksjonsverdi til $$ f$$. Vi set $$ f\left(x\right)=a$$ .