Omvende funksjonar

Vi har gitt funksjonen $$ f\left(x\right)=3x+4$$. Avgjer kva for ein av funksjonane nedanfor som er den omvende funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)$$.

1) $$ g\left(x\right)=-\frac{1}{3}x-4$$

2) $$ h\left(x\right)=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$$

3) $$ i\left(x\right)=\frac{1}{3}x+4$$

4) $$ j\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$$

Vi har gitt funksjonen $$ f\left(x\right)=4x-2$$.

a) Fyll ut verditabellen under.

b) Fyll ut verditabellen under utan å rekne ut den omvende funksjonen.

c) Rekn ut den omvende funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).

d) Teikn inn alle punkta frå tabellane i a) og b) i eit koordinatsystem saman med linja $$ y=x$$. Teikn normalar frå alle punkta til linja, og mål avstanden mellom punkta og linja. Kva observerer du?

a) Vis ved rekning at funksjonen $$ g\left(x\right)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$$ er den omvende funksjonen til ein lineær funksjon $$ f\left(x\right)=ax+b.$$

b) Lag glidarar for $$ a$$ og $$ b$$ i GeoGebra, og skriv inn dei to funksjonane frå a). Observer at uansett kva du gjer med dei to glidarane, vil grafane liggje symmetriske om linja $$ y=x$$.

Finn dei omvende funksjonane til funksjonane under for hand og ved hjelp av GeoGebra. Teikn grafane til funksjonen og den omvende funksjonen, og observer symmetrien:

a) $$ f\left(x\right)=x^3$$

Løysing

Vi løyser likninga for $$ x$$:

$$ \begin{array}{l}y=x^3\\ x^3=y\\ x=\sqrt[3]{y}\end{array}$$

Dette gir $$ f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$$.

I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får det følgjande grafbiletet:

b) $$ g\left(x\right)=\sqrt{x}$$

c) $$ h\left(x\right)=5x+5$$

På teorisida Omvende funksjonar (ndla.no) finn du eit GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvende funksjonar. Eit slikt kan du lage sjølv òg, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjonar enn den naturlege logaritmen. (Denne oppgåva er utforskande og har ikkje løysingsforslag)

• I GeoGebra kan du definere talet a som ein "glidar". Så kan du definere funksjonane $$ a^x$$ og $$ {\log }_a\left(x\right)$$, logaritmefunksjonen med $$ a$$ som grunntal.
• Kva grunntal er moglege?
• Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvende funksjonar. Korleis kan du vise geometrisk at funksjonane er omvende av kvarandre?
• Kva grunntal utanom $$ e$$ er du kjend med frå før?
• Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntalet, er omvende funksjonar.