Omvende funksjonar
3.3.10
Vi har gitt funksjonen . Avgjer kva for ein av funksjonane nedanfor som er den omvende funksjonen
1)
2)
3)
4)
Løysing
Det er funksjon nummer 4,
Vi kan vise det slik:
3.3.11
Vi har gitt funksjonen
a) Fyll ut verditabellen under.
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Løysing
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
-10 | -6 | -2 | 2 | 6 |
b) Fyll ut verditabellen under utan å rekne ut den omvende funksjonen.
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Løysing
Vi bruker at den omvende funksjonen og funksjonen sjølv er symmetriske om linja
-10 | -6 | -2 | 2 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
c) Rekn ut den omvende funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).
Løysing
Vi finn først den omvende funksjonen:
Så reknar vi ut alle funksjonsverdiane i tabellen:
d) Teikn inn alle punkta frå tabellane i a) og b) i eit koordinatsystem saman med linja
Løysing
Vi observerer at for kvart par av punkt er avstanden frå punktet til linja lik.
3.3.12
a) Vis ved rekning at funksjonen
Løysing
Vi har at
Vi får då at
som var det vi skulle vise.
b) Lag glidarar for
3.3.13
Finn dei omvende funksjonane til funksjonane under for hand og ved hjelp av GeoGebra. Teikn grafane til funksjonen og den omvende funksjonen, og observer symmetrien:
a)
Løysing
Vi løyser likninga for
Dette gir
I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f)
og får det følgjande grafbiletet:
b)
Løysing
Her viser vi berre løysinga for hand.
Vi veit her at både
Vi løyser for x igjen:
Vi får altså at
c)
Løysing
Vi viser berre løysinga for hand.
Vi bruker regelen vi viste i 3.3.12 og får
3.3.14
På teorisida Omvende funksjonar (ndla.no) finn du eit GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvende funksjonar. Eit slikt kan du lage sjølv òg, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjonar enn den naturlege logaritmen. (Denne oppgåva er utforskande og har ikkje løysingsforslag)
- I GeoGebra kan du definere talet a som ein "glidar". Så kan du definere funksjonane
oga x , logaritmefunksjonen medlog a x som grunntal.a - Kva grunntal er moglege?
- Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvende funksjonar. Korleis kan du vise geometrisk at funksjonane er omvende av kvarandre?
- Kva grunntal utanom
er du kjend med frå før?e - Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntalet, er omvende funksjonar.