Éin-eintydige funksjonar

Du hugsar kanskje frå 1T at $$ f\left(x\right)$$ er ein funksjon av $$ x$$ viss og berre viss $$ f\left(x\right)$$ for kvar $$ x$$-verdi gir berre éin $$ y$$-verdi. Fleire $$ x$$-verdiar kan derimot gi den same $$ y$$-verdien. Vi seier at ein funksjon er eintydig.

Vi ser på funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2 , D_f=\mathrm{ℝ}.$$

Både $$ f(-2)=4$$ og $$ f\left(2\right) = 4$$, men uansett kva $$ x$$-verdi vi vel i definisjonsområdet til $$ f$$, gir $$ f\left(x\right)$$ berre éin $$ y$$-verdi.

Ein eventuell omvend funksjon til $$ f$$ måtte ha ført $$ y$$-verdien 4 tilbake til den $$ x$$-verdien som funksjonen $$ f$$ starta med. Her er det to moglegheiter: $$ x=-2$$ eller $$ x=2$$. Definisjonen på kva ein funksjon er, krev at funksjonsverdien er eintydig, og den omvende funksjonen eksisterer derfor ikkje for denne funksjonen.

For at ein funksjon skal ha ein omvend funksjon, må altså eintydnaden "gå begge vegar"; han må vere det vi kallar éin-eintydig.

Ein funksjon $$ f$$ er éin-eintydig dersom

$$ x_1\ne x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right) \text{for alle } x_1, x_2\in D_f$$

Dette medfører følgande setning:

Vi ser på funksjonane

$$ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$

og

$$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right]$$$

Hugs at ein funksjon er gitt ved eit funksjonsuttrykk og ei definisjonsmengde.

Vi ønsker å finne ut om funksjonane har omvende funksjonar og eventuelt finne dei omvende funksjonane.

Vi teiknar grafen til $$ g$$ og ser at funksjonen veks i heile definisjonsområdet sitt. Då må det for alle $$ x_1\ne x_2$$ vere slik at $$ g\left(x_1\right)\ne g\left(x_2\right)$$. Funksjonen er derfor éin-eintydig og har ein omvend funksjon.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Vi set}& & g\left(x\right)=y& & x\ge 0, y\ge 0\\ & & & & \\ \text{Då er }& & y=x^2& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\sqrt{y}& & \text{Vi løyser altså likninga med omsyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & g^{-1}\left(y\right)=\sqrt{y}& & \left(g^{-1}\left(y\right)=x\right)\end{array}$$

Tenk over

Kvifor vel vi $$ x=\sqrt{y}$$ når vi skal finne den omvende funksjonen over, og ikkje $$ x=-\sqrt{y}$$?

Funksjonen

$$ $ g\left(x\right)=x^2 D_g=[0, \infty ⟩, V_g=[0, \infty \rangle $$$

har den omvende funksjonen

$$ g^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x} D_{g^{-1}}=[0, \infty ⟩, V_{g^{-1}}=[0, \infty ⟩$$

Vi teiknar så grafen til $$ h$$ og ser at funksjonen minkar i heile definisjonsområdet sitt. Då må det for alle $$ x_1\ne x_2$$ vere slik at $$ h\left(x_1\right)\ne h\left(x_2\right)$$. Funksjonen er derfor éin-eintydig og har ein omvend funksjon.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Vi set}& & h\left(x\right)=y& & x\le 0, y\ge 0\\ & & & & \\ \text{Då er }& & y=x^2& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=-\sqrt{y}& & \text{Vi løyser altså likninga med omsyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & h^{-1}\left(y\right)=-\sqrt{y}& & \left(h^{-1}\left(y\right)=x\right)\end{array}\begin{array}{}\end{array}$$

Vi byter $$ x$$ og $$ $$$$ y$$ og får

$$ \begin{array}{cc}{h}^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x} , & x\ge 0\end{array}$$

Funksjonen

$$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right], V_h=[0, \infty ⟩$$$

har den omvende funksjonen

$$ h^{-1}\left(x\right)=-\sqrt{x} , D_{h^{-1}}=[0, \infty ⟩, V_{h^{-1}}=⟨-\infty , 0]$$

Ut frå det vi har sett, kan vi formulere setninga nedanfor:

Det betyr at vi kan sjekke om ein funksjon har ein omvend funksjon ved å trekke linjer parallelle med $$ x$$-aksen. Dersom alle slike linjer berre treffer grafen i eitt punkt, har funksjonen ein omvend funksjon.

Vi kan òg bruke derivasjon, til dømes:

$$ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}-2=x^{\frac{1}{3}}-2 \Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

Sidan $$ x^2$$ aldri kan bli negativ, er den deriverte alltid positiv. Det betyr at funksjonen er det vi kallar strengt veksande (sjå lenger ned) og derfor har ein omvend funksjon.

Vi minner om at definisjonsmengda til den omvende funksjonen alltid er lik verdimengda til den opphavlege funksjonen.

Tenk over

Kan ein funksjon ha ein omvend funksjon sjølv om han veks i nokre intervall og søkk i andre intervall?

Forklaring

Nedanfor har vi teikna grafen til funksjonen

$$ $ f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x-3 , -2\le x\le 2\\ x-2 , 18\le x\le 100 \end{array}$$$

Vi ser at funksjonen er éin-eintydig sjølv om funksjonen søkk i intervallet $$ \left[-2,2\right]$$ og veks i $$ \left[2,6\right]$$ sidan det ikkje er nokon $$ f\left(x\right)$$-verdiar som kan gi to $$ x$$-verdiar.

Dette betyr at sjølv om funksjonar som veks i heile definisjonsområdet sitt, har ein omvend funksjon, betyr ikkje det at funksjonar som både veks og søkk, ikkje kan ha det.

Funksjonen

$$ $ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$$

i dømet over er det vi kallar strengt veksande i heile definisjonsområdet sitt.

Tenk over

Er funksjonen $$ $ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty ,\left.0\right]$$$ i dømet lenger opp på sida ein strengt veksande eller strengt minkande funksjon?

Tenk over

Nedanfor har vi teikna funksjonen

$$ $ f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x , x\le 2\\ 2 , 2<x\le 6 \\ x-4 , x>6\end{array}$$$

Har denne funksjonen ein omvend funksjon? Forklar.

Er denne funksjonen strengt veksande? Forklar.

Vi definerer derfor vidare:

Ved hjelp av det vi veit, kan vi no formulere ein formell definisjon av omvende funksjonar.