Oppgåver og aktivitetar

Éin-eintydige funksjonar

Her kan du jobbe med oppgåver om éin-eintydige funksjonar.

3.3.20

Undersøk om funksjonane under er éin-eintydige og dermed har ein omvend funksjon. Finn den omvende funksjonen dersom det er mogleg.

a) $f (x) = x^{2}$

Løysing

Vi deriverer:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} \\ f^{'} (x) = 2 x \end{array}$

Vi ser at den deriverte er ei rett linje som vil krysse $x$ -aksen i punktet $(0, 0)$ . Altså vil den deriverte skifte forteikn i dette punktet.

Dette betyr at funksjonen ikkje er éin-eintydig.

b) $g (x) = x^{3}$

Løysing

Vi gjer som i a) og deriverer:

$\begin{array}{l} g (x) = x^{3} \\ g^{'} (x) = 3 x^{2} \end{array}$

I dette tilfellet får vi ein derivert som alltid er positiv, og som berre er 0 i eitt punkt. Då vil funksjonen vere strengt veksande og dermed éin-eintydig.

Vi kan finne den omvende funksjonen:

$\begin{matrix} y = x^{3} \\ x = \sqrt[3]{y} \\ g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} \end{matrix}$

c) $h (x) = x^{4}$

Løysing

$\begin{array}{l} h (x) = x^{4} \\ h^{'} (x) = 4 x^{3} \end{array}$

Her får vi, som i a), ein derivert som vil skifte forteikn i punktet $x = 0$ . Denne funksjonen er ikkje éin-eintydig.

d) $i (x) = x^{5}$

Løysing

$\begin{array}{l} i (x) = x^{5} \\ i^{'} (x) = 5 x^{4} \end{array}$

I dette tilfellet får vi, som i b), ein derivert som alltid er positiv, og som berre er 0 i eitt punkt. Då vil funksjonen vere strengt veksande og dermed éin-eintydig.

Vi kan finne den omvende funksjonen:

$\begin{matrix} y = x^{5} \\ x = \sqrt[5]{y} \\ i^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} \end{matrix}$

e) $j (x) = x^{- 1}$

Løysing

$\begin{array}{l} j (x) = x^{- 1} \\ j^{'} (x) = (- 1) \cdot x^{- 2} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

Vi ser at den deriverte vil vere negativ for alle $x$ i definisjonsområdet til $j (x)$ . (Legg merke til at verken sjølve funksjonen eller den deriverte er definert for $x = 0$ .) Det betyr at vi i dette tilfellet vil få ein strengt minkande funksjon, altså ein éin-eintydig funksjon.

Vi kan finne den omvende funksjonen:

$\begin{matrix} y = \frac{1}{x} \\ x = \frac{1}{y} \\ j^{- 1} (x) = \frac{1}{x} \end{matrix}$

Vi legg merke til at denne funksjonen er sin eigen invers!

f) $k (x) = x^{- 2}$

Løysing

$\begin{array}{l} k (x) = x^{- 2} \\ k^{'} (x) = (- 2) \cdot x^{- 3} = - 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x^{3}} \end{array}$

Som i e) har vi ein funksjon som ikkje er definert for $x = 0$ , men i dette tilfellet ser vi at den deriverte vil bli positiv for negative verdiar av $x$ og negativ for positive verdiar av $x$ . Det betyr at vi ikkje har ein éin-eintydig funksjon.

3.3.21

a) Kan du ved å sjå på svara du fekk i oppgåve 3.3.20 seie noko generelt om kva som skal til for at funksjonen $f (x) = x^{n}$ skal vere éin-eintydig?

Løysing

Vi ser at dersom $n$ er eit oddetal, får vi éin-eintydige funksjonar, mens vi ikkje får éin-eintydige funksjonar dersom $n$ er partal.

b) Bruk funksjonen invers() i GeoGebra på funksjonane i a), c) og f) frå 3.3.20. Kva observerer du, og kva betyr dette for forholdet vårt til GeoGebra?

Løysing

Vi observerer at GeoGebra finn ein invers funksjon til alle desse funksjonane, sjølv om vi i utrekninga vår har vist at den inverse funksjonen ikkje finst. Vi observerer òg at GeoGebra vel eit intervall for den inverse funksjonen, i alle desse tilfella vel GeoGebra $x > 0$ , men så lenge definisjonsområdet til hovudfunksjonen er heile $ℝ$ , har ikkje funksjonen ein invers funksjon.

Dette minner oss om at vi ikkje alltid kan stole blindt på GeoGebra, men at vi må følgje godt med og bruke våre eigne matematikkunnskapar i tillegg til svara GeoGebra gir oss.

3.3.22

Vi har gitt funksjonen $f (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in ℝ$ .

a) Vis at $f (x)$ ikkje er éin-eintydig.

Løysing

Vi deriverer og viser at den deriverte er ei rett linje som skiftar forteikn frå positiv til negativ i $x = - 3$ :

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + 6 x + 9 \\ f^{'} (x) = 2 x + 6 \\ 2 x + 6 = 0 \\ x = - 3 \end{array}$

b) Vil $f (x)$ vere éin-eintydig dersom vi set definisjonsmengda til $x > 0$ ?

Løysing

Ja, i intervallet $x > 0$ vil den deriverte vere positiv, og dermed er funksjonen strengt veksande og éin-eintydig.

c) Vil $f (x)$ vere éin-eintydig dersom vi set definisjonsmengda til $x < 0$ ?

Løysing

Nei, i dette intervallet vil den deriverte skifte frå negativ til positiv, og dermed er funksjonen ikkje éin-eintydig.

d) Kan du dele $f (x)$ opp i to funksjonar, $f_{1} (x) og f_{2} (x)$ , som til saman har definisjonsmengda $x \in ℝ$ , og der begge funksjonane er éin-eintydige?

Løysing

Vi fann nullpunktet til den deriverte i a). Vi deler funksjonen i dette punktet. Vi kan velje om vi vil leggje nullpunktet til den deriverte til $f_{1} (x) eller f_{2} (x)$ :

$\begin{array}{l} f_{1} (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in [- 3, \to ⟩ \\ f_{2} (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in ⟨ \leftarrow, - 3 ⟩ \end{array}$

e) Finn funksjonsuttrykka til dei omvende funksjonane ${f_{1}}^{- 1} (x) og {f_{2}}^{- 1} (x)$ . Hugs å ta omsyn til definisjonsmengdene.

Løysing

Vi ser at definisjonsmengda til begge dei omvende funksjonane må vere $x > 0$ . Dette veit vi fordi $f (x)$ er eit fullstendig kvadrat $(x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2})$ og dermed alltid positiv. (Hugs at verdimengda til ein funksjon er definisjonsmengda til den omvende funksjonen.)

Vi set $f (x) = y$ :

$\begin{array}{l} x^{2} + 6 x + 9 = y \\ {(x + 3)}^{2} = y \\ x + 3 = \pm \sqrt{y} \\ x = \pm \sqrt{y} - 3 \end{array}$

Vi har altså funne dei to uttrykka som er dei omvende funksjonane.

Vi har at

$\begin{array}{l} {f_{1}}^{- 1} (x) = \sqrt{x} - 3, x > 0 \\ {f_{2}}^{- 1} (x) = - \sqrt{x} - 3, x > 0 \end{array}$

For å vise at dette stemmer, set vi inn 1 i $f_{1} (x)$ , reknar ut funksjonsverdien for så å setje denne inn i dei to uttrykka for dei omvende funksjonane. Då vil du sjå kva som høyrer saman:

$\begin{array}{l} f_{1} (1) = 1^{2} + 6 \cdot 1 + 9 = 16 \\ {f_{1}}^{- 1} (16) = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1 \\ {f_{2}}^{- 1} (16) = - \sqrt{16} - 3 = - 4 - 3 = - 7 \end{array}$

Vi ser her at det er den øvste av dei to som tek oss tilbake igjen til den opphavlege $x$ -verdien. Prøv gjerne det same med til dømes $- 4$ .

f) Teikn grafane til dei to funksjonane $f_{1} (x) og {f_{1}}^{- 1} (x)$ i GeoGebra saman med linja $y = x$ , og observer symmetrien.

Løysing

Vi teiknar inn dei to funksjonane og hugsar å avgrense dei til større enn $-3$ og $0$ . Så teiknar vi inn linja $y = x$ . Vi observerer at dei to grafane er symmetriske: