Likningssett av første og andre grad

Då vi løyste likningssett med to likningar av første grad, brukte vi innsetjingsmetoden. Denne metoden kan vi også bruke her. Det luraste er då ofte å finne eit uttrykk for den eine ukjende ved hjelp av førstegradslikninga, og så setje dette uttrykket inn i andregradslikninga.

Vi har gitt likningssettet

$\left[\begin{array}{c}2x^2-2x-y^2=8\\ 2x-y=-2\end{array}\right]$

Vi bruker førstegradslikninga til å finne eit uttrykk for $y$

$\begin{array}{rcl}2x-y& = & -2\\ & & \\ -y& =& -2-2x\\ & & \\ y& =& 2x+2\end{array}$

Vi set så uttrykket for $y$ inn i andregradslikninga

$\begin{array}{rcl}2x^2-2x-y^2& = & 8\\ & & \\ 2x^2-2x-{\left(2x+2\right)}^2& =& 8\\ & & \\ 2x^2-2x-\left(4x^2+8x+4\right)& =& 8\\ & & \\ 2x^2-2x-4x^2-8x-4& =& 8\\ & & \\ -2x^2-10x-12& =& 0 \overline{):-2}\\ & & \\ x^2+5x+6& =& 0\end{array}$

Vi bruker abc-formelen til å løyse denne likninga

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm 1}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \mathrm{eller} x=-3\end{array}$

Vi set så desse løysingane inn i uttrykket for $y$

$\begin{array}{rcl}y& = & 2x+2\\ & & \\ y_1& =& 2·(-2)+2)=-2\\ & & \\ y_2& =& 2·(-3)+2)=-4\end{array}$

Likningssettet har to sett med løysingar

$x=-2 \wedge y=-2 \vee x=-3 \wedge y=-4$

($$ \vee $$ eller, $$ \wedge $$ og)

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen

Nedanfor ser du korleis vi kan løyse likninga frå førre døme i GeoGebra.

Du markerer rute 1 og 2 for så å bruke knappen $\boxed{\mathrm{x}=}$

I funksjonskapitlet skal du sjå korleis vi kan løyse likningssett grafisk.