Oppgåver og aktivitetar

Andregradslikningar med abc-formelen

Alle oppgåvene nedanfor unnateke dei to siste skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Men alle oppgåvene kan løysast med CAS.

1.7.10

Løys likningane ved å bruke abc-formelen.

a) $x^{2} + 7 x = - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 7 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 7 + 5}{2} = - 1 \lor x_{2} = \frac{- 7 - 5}{2} = - 6 \end{array}$

Teiknet " $\lor$ " tyder "eller".

b) $x^{2} + 5 x = - 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2}} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ x & = & \frac{- 5 + \sqrt{1}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{- 5 + 1}{2} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = - 3 \end{array}$

c) $x^{2} = 2 x + 24$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 + 10}{2} = 6 \lor x_{2} = \frac{2 - 10}{2} = - 4 \end{array}$

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du set inn i abc-formelen.

1.7.11

Løys likningane ved å bruke abc-formelen

a) $270 x^{2} + 230 x = 540 - 40 x$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 270 x^{2} + 270 x - 540 & = & 0 : 270 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x_{1} & = & \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \lor x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$

b) $360 x^{2} - 360 x = - 90$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 360 x^{2} - 360 x + 90 & = & 0 : 90 \\ 4 x^{2} - 4 x + 1 & = & 0 \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \\ x_{1} & = & \frac{4 + 0}{8} \lor x_{2} = \frac{4 - 0}{8} \\ x_{1} & = & x_{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.7.12

Løys likningane ved å bruke abc-formelen

a) $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{1 + 3}{2} = 2 \lor x_{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{array}$

b) $- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med $- 2$ før vi set inn i abc-formelen.

Vi får då

c) $- 5 x = x^{2} + 6$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{1}}{- 2} \\ x_{1} & = & \frac{5 + 1}{- 2} = - 3 \lor x_{2} = \frac{5 - 1}{- 2} = - 2 \end{array}$

1.7.13

Løys likningane ved å bruke abc-formelen

a) $- x^{2} - 6 x - 8 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} - x^{2} - 6 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2} \\ x & = & \frac{6 \pm \sqrt{4}}{- 2} \\ x_{1} & = & \frac{6 + 2}{- 2} = - 4 \lor x_{2} = \frac{6 - 2}{- 2} = - 2 \end{array}$

b) $3 x^{2} + 12 = - 12 x$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi set inn i abc-formelen. Vi må også ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 12 x + 12 & = & 0 | : 3 \\ x^{2} + 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x_{1} & = & x_{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

c) $3 x^{2} + 2 = 2 x$

vis fasit

Vi må ordne likninga først.

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

1.7.14

Løs likningene ved å bruke abc-formelen.

a) $0, 3 x^{2} + 0, 2 = 0, 2 x$

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi set inn i abc-formelen. Hugs også å ordne likninga.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} - 0, 2 x + 0, 2 & = & 0 \cdot 10 \\ 3 x^{2} - 3 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

b) $0, 003 x^{2} + 0, 002 = 0, 002 x$

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi set inn i abc-formelen. Hugs å ordne likninga også.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} 0, 003 x^{2} - 0, 002 x + 0, 002 & = & 0 \cdot 1000 \\ 3 x^{2} - 2 x + 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{6} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{6} \end{array}$

Her får vi inga løysing fordi talet under rotteiknet er negativt.

1.7.15

Løys likningane

a) $x^{2} - 4 x + 2 = 0$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} \lor x_{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 (2 + \sqrt{2})}{2} \lor x_{2} = \frac{2 (2 - \sqrt{2})}{2} \\ x_{1} & = & 2 + \sqrt{2} \lor x_{2} = 2 - \sqrt{2} \end{array}$

b) $10 x^{2} = 10 x + 4$

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi set inn i abc-formelen. Hugs også å ordne likninga.

Vi får da

$\begin{array}{rcl} 5 x^{2} - 5 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 5} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{65}}{10} \\ x_{1} & = & \frac{5 + \sqrt{65}}{10} \lor x_{2} = \frac{5 - \sqrt{65}}{10} \end{array}$

c) $x (x - 2) + 2 = 4 - 4 x$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x + 2 - 4 + 4 x & = & 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 (- 1 + \sqrt{3})}{2} \lor x_{2} = \frac{2 (- 1 - \sqrt{3})}{2} \\ x_{1} & = & \sqrt{3} - 1 \lor x_{2} = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

d) $4 - x (2 - x) = 3 (x - 1) + 2 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 4 - 2 x + x^{2} & = & 3 x - 3 + 2 x^{2} \\ x^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 3 x + 4 + 3 & = & 0 \\ - x^{2} - 5 x + 7 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{25 + 28}}{- 2} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{53}}{- 2} \\ x_{1} & = & - \frac{5 + \sqrt{53}}{2} \lor x_{2} = - \frac{5 - \sqrt{53}}{2} \end{array}$

e) $4 x^{2} - 2 x (3 - x) + 11 x = 3 (x + 1) - 2 x^{2}$

vis fasit

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 11 x & = & 3 x + 3 - 2 x^{2} \\ 4 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x + 11 x - 3 x - 3 & = & 0 \\ 8 x^{2} + 2 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 8} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 10}{2 \cdot 8} \\ x_{1} & = & \frac{- 12}{16} = - \frac{3}{4} \lor x_{2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \end{array}$

1.7.16

Grunnflata til eit hus er eit rektangel med $x$ meter breidde og $(x + 4)$ meter lengde. Arealet er 96 m². Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

vis fasit

Vi set opp ei likning

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x + 4) & = & 96 \\ x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 96)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{400}}{2} \\ x & = & \frac{- 4 \pm 20}{2} \\ x_{1} & = & 8 \lor x_{2} = - 12 \end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$8 + 4 = 12$

Huset er 12 m langt og 8 m breitt.

1.7.17

Grunnflata til eit hus er eit rektangel med $(x - 5)$ meter breidde og $x$ meter lengde. Arealet er 126 m². Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor langt og kor breitt huset er.

vis fasit

Vi set opp en likning

$\begin{array}{rcl} x \cdot (x - 5) & = & 126 \\ x^{2} - 5 x - 126 & = & 0 \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 126)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{5 \pm \sqrt{529}}{2} \\ x & = & \frac{5 \pm 23}{2} \\ x_{1} & = & 14 \lor x_{2} = - 9 \end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$14 - 5 = 9$

Huset er 14 m langt og 9 m breitt.

1.7.18

Grunnflata til ein garasje er eit rektangel med $x$ meter breidde og $(x + 2)$ meter lengde. Diagonalen i grunnflata er 10 meter. Set opp ei andregradslikning og rekn ut kor lang og kor brei garasjen er.

vis fasit

Her må vi bruke pytagorassetninga for å setja opp likninga.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 2)}^{2} & = & 10^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 4 x + 4 - 100 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 4 x - 96 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 48 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2} \\ x & = & \frac{- 2 \pm 14}{2} \\ x_{1} & = & 6 \lor x_{2} = - 8 \end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$6 + 2 = 8$

Garasjen er 8 m lang og 6 m brei.

1.7.19

Ei tomt er eit rektangel med $x$ meter breidde og $(x + 10)$ meter lengde. Diagonalen er 50 meter. Finn arealet av tomta.

vis fasit

Vi må først finne lengda av sidene.

Vi bruker pytagorassetninga og set opp ei likning.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + {(x + 10)}^{2} & = & 50^{2} \\ x^{2} + x^{2} + 20 x + 100 - 2500 & = & 0 \\ 2 x^{2} + 20 x - 2400 & = & 0 \end{array}$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettare tal å setje inn i abc-formelen.

Vi får då

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 10 x - 1200 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1200)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 10 \pm \sqrt{4900}}{2} \\ x & = & \frac{- 10 \pm 70}{2} \\ x_{1} & = & 30 \lor x_{2} = - 40 \end{array}$

Her bruker vi berre den positive løysinga.

$30 + 10 = 40$

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir då $30 m \cdot 40 m = 1200 m^{2}$ .

1.7.20

a) Gitt andregradslikninga $a x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Bruk abc-formelen og finn ut kva for verdier av $a$ som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot a \cdot 4}}{2 \cdot a} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 a}}{2 a} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $16 - 16 a$ .

Dersom $a > 1$ vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dersom $a = 1$ vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing, $x = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$ .

Dersom $a < 1$ vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

b) Gitt andregradslikningen $x^{2} - b x + 4 = 0$

Bruk abc-formelen og finn ut kva for verdier av b som gir to løysingar, éi løysing og inga løysing.

vis fasit

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- (- b) \pm \sqrt{{(- b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{b \pm \sqrt{b^{2} - 16}}{2} \end{array}$

Vi ser på uttrykket under rotteiknet, $b^{2} - 16$ .

Dersom $b^{2} < 16$ vil uttrykket under rotteiknet bli negativt, og vi har inga løysing.

Dette vil skje når $b$ ligg mellom $- 4$ og $4$ .

Dersom $b^{2} = 16$ , dvs når $b = 4$ eller $b = - 4$ vil uttrykket under rotteiknet bli lik 0, og vi får éi løysing.

$b = - 4 : x = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2$

$b = 4 : x = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2 .$

Dersom $b^{2} > 16$ dvs når $b > 4$ eller $b < - 4$ , vil uttrykket under rotteiknet bli positivt, og vi har to løysingar.

1.7.21

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter $t$ sekund er høgda $h$ meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket $h = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$ .

a) Når er ballen 10 m over bakken?

vis fasit

Vi set inn 10 m for høgda $h$ og får

$10 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Numerisk løysing med CAS av likninga 10 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på veg opp) og etter 2,2 s (på veg ned).

b) Når treff ballen bakken?

vis fasit

Når ballen treff bakken, er høgda over bakken 0 m.

Vi set inn 0 m for høgda $h$ og får

$0 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Numerisk løysing med CAS av likninga 0 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Ballen treff bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Kva betyr svaret du får?

vis fasit

Vi set inn 15 m for høgda $h$ og får

$15 = 14, 5 t - 4, 9 t^{2} + 1, 8$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Numerisk løysing med CAS av likninga 15 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Inga løysing. Det må tyde at ballen når aldri ei høgd på 15 m over bakken.

1.7.22

Overflata til ein brusboks med topp og botn er gitt ved

$O = 2 π r^{2} + 2 π r h$ .

Kva er radius til ein brusboks med overflate $250 {cm}^{2}$ og høgd $5 cm$ ?

vis fasit

Vi set inn formelen og får

$250 = 2 π r^{2} + 2 π r \cdot 5 250 = 2 π r^{2} + 10 π r$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

Numerisk løysing med CAS av likninga 250 er lik 2 pi r i andre + 10 pi r. CAS-utklipp.

Vi kan berre bruke den positive løysinga.

Brusboksen har ein radius på 4,3 cm.

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist fagleg oppdatert 20.06.2018

Andregradslikningar med abc-formelen

1.7.10

1.7.11

1.7.12

1.7.13

1.7.14

1.7.15

1.7.16

1.7.17

1.7.18

1.7.19

1.7.20

1.7.21

1.7.22

Reglar for bruk