Fagartikkel

Modellar av figurar og mønster

Figurar og mønster kan vi ofte lage matematiske modellar av.

Figurane ovanfor er bygde opp av 9, 12 og 15 små kvadrat. Tenk deg at vi held fram å lage figurar etter same mønster.

Talet på små kvadrat i kvar figur dannar ein serie med tal, ei talfølgje, som byrjar med tala 9, 12 og 15 og held fram etter same mønster i det uendelege 9, 12, 15, ...
La $F_{n}$ vere talet på små kvadrat i figur nummer $n$ slik at $F_{1} = 9, F_{2} = 12$ og $F_{3} = 15$

Prøv å svare på desse spørsmåla før du ser på løysinga.

Kva gjer vi for å komme frå éin figur til den neste? Kva er mønsteret i det vi gjer?
Kor mange små kvadrat vil det vere i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil seie $F_{4}, F_{5}$ og F6.
Kan du finne ein modell, ein formel, for talet på kvadrat i figur nummer $n$ ? Ein formel for $F_{n}$ .
Kor mange kvadrat er det etter din modell i figur nummer 998?

Løysning

Vis løysing

Vi legg til tre små kvadrat for å komme frå éin figur til neste.
Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrat, Figur 5 av 21 kvadrat og Figur 6 av 24 kvadrat. Det vil seie at $F_{4} = 18, F_{5} = 21$ og $F_{6} = 24$ .
Eg ser at talet på kvadrat alltid er lik 3 multiplisert med eit tal som er 2 høgare enn «figurnummeret». $F_{1} = 9 = 3 (1 + 2), F_{2} = 12 = 3 (2 + 2), F_{3} = 15 = 3 (3 + 2), F_{4} = 18 = 3 (4 + 2),$ $F_{5} = 21 = 3 (5 + 2), F_{6} = 3 (6 + 2)$ . Vi får då modellen $F_{n} = 3 (n + 2)$
Talet på kvadrat i figur nummer 998 er då $F_{998} = 3 (998 + 2) = 3 \cdot 1000 = 3000$ .

Trekantar

Ein likesida $△ A B C$ har areal lik $T$ . Midtpunkta på sidene i $△ A B C$ er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik $T_{1}$ . Midtpunkta på sidene i $△ D E C$ er hjørna i ein ny likesida trekant $△ I H G$ med areal lik $T_{2}$ . Etter same mønster lager vi trekanter med areal $T_{3}, T_{4}$ , og så vidare.
Denne prosessen tenkjer vi oss held fram i det uendelege. Sjå skissa nedanfor.

Trekanter — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-NC-SA 4.0

Oppgåve

Kva blir arealet til trekant $T_{1}$ ? Kva blir arealet til trekant $T_{2}$ ? Kva blir arealet til trekant $T_{3}$ ?
Kan du finne ein modell, ein formel, for arealet $T_{n}$ når vi held frem å lage trekantar etter same mønster?
Bruk modellen, og set opp eit uttrykk for arealet $T_{10}$ ? Kva blir arealet $T_{1000}$ ?
Studer figuren og finn ut kva som blir summen av areala $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ , og så videre. Omkrinsen av $△ A B C$ er lik 3. Trekanten som har arealet lik $T_{n}$ har omkrinsen $O_{n}$ .
Forklar at $O_{1} = \frac{3}{2}, O_{2} = \frac{3}{4} og O_{3} = \frac{3}{8}$ .
Kan du finne en modell, en formel, for omkrinsen til trekant nr. $n$ når vi held fram å lage trekantar etter same mønster?
Bruk modellen og finn $O_{4}$ .

Løysing

Vis løysing

$△ F E D$ er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til $△ A B C$ . $△ F E D$ har derfor arealet $T_{1} = \frac{T}{4^{1}}$ . $△ I H G$ er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til $△ D E C$ . $△ I H G$ har derfor arealet $T_{2} = \frac{T}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{T}{4^{2}}$ . Tilsvarande er $T_{3} = T_{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{T}{4^{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{T}{4^{3}}$ , og slik held det fram.
Det tyder at vi får modellen for arealet $T_{n} = \frac{T}{4^{n}}$ .
Vi bruker modellen og får at $T_{10} = \frac{T}{4^{10}} og T_{1000} = \frac{T}{4^{1000}}$ .
$T_{1}$ utgjer tredjeparten av arealet til firkanten $A B E D$ , $T_{2}$ utgjer tredjeparten av arealet til firkanten $D E H G$ , og slik held det fram. Det må tyde at summen av alle dei fargelagte trekantane må vere lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik $T_{1} + T_{2} + T_{3} + . . . = \frac{T}{3}$ .
Sidene i $△ F E D$ er halvparten av sidene i $△ A B C$ . Omkrinsen til $△ F E D$ må da vere halvparten av omkrinsen til $△ A B C$ . Det vil seie at $O_{1} = \frac{3}{2^{1}}$ . Sidene i $△ I H G$ er halvparten av sidene i $△ F E D$ . Omkrinsen til $△ I H G$ må da vere halvparten av omkrinsen til $△ F E D$ . Det vil seie at $O_{2} = O_{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2^{2}}$ . Tilsvarande er $O_{3} = O_{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2^{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2^{3}}$ , og slik held det fram.
Det tyder at vi får modellen for omkrinsen, $O_{n} = \frac{3}{2^{n}}$ .
Vi bruker modellen og får at $O_{4} = \frac{3}{2^{4}} = \frac{3}{16}$ .

Trekantar

Reglar for bruk av teksten "Modellar av figurar og mønster"