Forsøk

Simulering: halveringstid

I denne simuleringa skal du mellom anna finne ut kor lang halveringstida til eit tenkt radioaktivt materiale er.

Simuleringa nedanfor viser kor raskt det tenkte radioaktive grunnstoffet lurium blir omdanna. Ved tidspunktet $t = 0$ dagar har vi 240 atom lurium, eller 100 %. For kvar gong du trykker på knappen, går det eitt døgn, og simuleringa viser kor mykje lurium som er igjen.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist(GGB)

1. Kor lang tid er det omtrent til luriummengda er halvert (halveringstida? Prøv å svare med éin desimal.

Tips til oppgåva

Køyr simuleringa til du har fått minst eitt punkt nedanfor linja som svarer til 50 %. Prøv å anslå omtrent kvar ein tenkt graf mellom punkta vil krysse denne linja. Du vil mest truleg få ei halveringstid på ein stad mellom 4 og 5 døgn.

2. Omtrent kor mange prosent av luriumet er det igjen etter 12 døgn?

Tips til oppgåva

Køyr simuleringa i 12 dagar og bruk det siste punktet til å lese av kor mange prosent lurium det er igjen.

3. Kva blir den tilnærma, faste prosentvise reduksjonen av lurium per døgn ut ifrå svaret på det førre spørsmålet?

Løysing

Vi går no ut ifrå at du fekk at det var igjen 13 % lurium etter 12 døgn. Det betyr at vekstfaktoren for den totale reduksjonen er 0,13. Dersom du fekk ein annan prosent, bruker du den.

Vi tenker oss at vi har den same prosentvise reduksjonen av lurium frå dag til dag, og vi set vekstfaktoren for endringa frå dag til dag lik x. For kvar dag som går, må vi derfor multiplisere restmengda av lurium med x. Etter 12 dagar skal produktet av alle vekstfaktorene for éin dag bli lik den totale vekstfaktoren etter 12 dager, 0,13. Dette gir oss likninga

$x^{12} = 0, 13$

Vi løyser likninga med CAS i GeoGebra.

På linje 1 i CAS-vindauget i GeoGebra er det skrive x i tolvte er lik 0,13. Svaret med Løys er x er lik to rotuttrykk som vi finn eit tilnærma uttrykk for på neste linje. På linje 2 er det skrive dollarteikn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 0,84 eller x er lik 0,84. Skjermutklipp.

Vekstfaktoren blir 0,84, eller 84 %, som betyr at luriummengda blir redusert med 16 % frå dag til dag i gjennomsnitt.

4. Bruk svaret i det førre spørsmålet til å lage ein eksponentialfunksjon som viser restmengda av lurium i prosent som funksjon av talet på døgn.

Løysing

Funksjonen for restmengda må vere lik den opphavlege luriummengda multiplisert med vekstfaktoren opphøgd i talet på døgn. Dersom vi kallar restmengda i prosent for r og talet på døgn for t, får vi med tala våre

$r (t) = 100 \cdot 0, 84^{t}$

5. Bruk funksjonen til å rekne ut halveringstida til lurium.

Løysing

Vi ønsker å finne ut når funksjonen r har vorte halvert, det vil seie når han har verdien 50. Dette gir oss likninga $r (t) = 50$ , som vi løyser med CAS.

På linje 3 i CAS-vindauget i GeoGebra er funksjonen r av t er lik 100 multiplisert med 0,84 opphøgd i t definert. På linje 4 er r av t sett lik 50. Svaret med Løys er t er lik eit uttrykk som vi reknar ut tilnærma verdi for på neste linje. På linje 5 er det skrive dollarteikn 4. Svaret med tilnærming er t er lik 3,98. Skjermutklipp.

Med tala våre tek det omtrent 4 døgn før luriummengda er halvert.

Reglar for bruk av teksten "Simulering: halveringstid"