Trekanttal og Pascal sin taltrekant

Følgande figurar er komne fram ved å lage likesida trekantar av sirklar som er tettpakka.

Kan du sjå kva som er mønsteret i oppbygginga av figurane?

Start med figur 1 og figur 2 nedanfor, og ikkje sjå på figur 3 og figur 4 ovanfor.

Klarer du sjølv å lage figur 3 og figur 4?

Du har kanskje alt sett mønsteret. Figur 1 har 1 sirkel. Figur 2 har 2 sirklar fleir enn figur 1. Figur 3 har 3 sirklar fleir enn figur 2. Slik held det fram.

Vi får då at i figur 1 er det 1 sirkel. I figur 2 er det 1 + 2 = 3 sirklar. I figur 3 er det
1 + 2 + 3 = 6 sirklar. I figur 4 er det 1 + 2 + 3 + 4 = 10 sirklar og så vidare.

Tala 1, 3, 6, 10 og så vidare kallar vi for trekanttala. Kvifor trur du dei har fått dette namnet?

La $T\left(n\right)$ være trekanttall nummer $n$. Da er

$T\left(1\right)=1, T\left(2\right)=3, T\left(3\right)=6$ og $T\left(4\right)=10$?

Tenk no at vi lagar figur 5, figur 6 og så vidare etter same mønster. Ser du at

$T\left(5\right)=T\left(4\right)+5=15$ og $T\left(6\right)=T\left(5\right)+6=15+6=21$?

Ser du at vi generelt får $T\left(n\right)=T(n-1)+n$?

Forsøk å lage ein tabell med dei første 12 trekanttala. Kontroller med tabellen nedanfor.

Vi får til dømes at $T\left(7\right)=28=1+2+3+4+5+6+7=\frac{1+7}{2}·7$.

Brøken $\frac{1+7}{2}=4$ er gjennomsnittet av tala frå og med 1 til og med 7. Når vi multipliserer dette talet med talet på tal, som er 7, får vi summen av tala frå og med 1 til og med 7.

Det tyder at formelen $T\left(n\right)=\frac{1+n}{2}·n$ gir trekanttal nummer $n$. Kontroller at denne formelen stemmer for dei andre trekanttala.

Eit kvadrattal er eit tal du får, når du opphøgjer eit heilt tal i andre potens. Kva slags tal får du når du legg saman to «nabo-trekanttal»?

Blaise Pascal var ein kjend fransk matematikar, fysikar, oppfinnar og filosof som levde på 1600-talet. Ein spesiell taltrekant har fått namnet etter Pascal, sjølv om trekanten var kjend i mange hundre år før Pascal levde.

Lag ein trekant av ruter som figuren ovanfor viser. Skriv inn talet 1 i alle rutene langs kanten av trekanten. Vi har byrja å fylle inn tal i resten av rutene. Ser du korleis vi har funne desse tala? Hald fram etter same mønster, og fyll inn tal i alle rutene.

I trekanten ovanfor har vi valt å lage 11 rader. Trekanten kan utvidast etter same mønster.

Sjå på tala som er farga gule. Kjenner du att denne talfølgja? Ganske rett. Det er trekanttala!

Ser du korleis dei kjem fram etter dette mønsteret?

$\begin{array}{l}1=1 \\ 1+2=3 \\ 1+2+3=3+3=6 \\ 1+2+3+4=6+4=10\\ 1+2+3+4+5=10 + 5=15 \\ 1+2+3+4+5+6=15+6=21\end{array}$