Figurar og mønster kan vi ofte lage matematiske modellar av.
Figurane ovanfor er bygde opp av 9, 12 og 15 små kvadrat. Tenk deg at vi held fram å lage figurar etter same mønster.
Talet på små kvadrat i kvar figur dannar ein serie med tal, ei talfølgje, som byrjar med tala 9, 12 og 15 og held fram etter same mønster i det uendelege 9, 12, 15, ... La vere talet på små kvadrat i figur nummer slik at og
Prøv å svare på desse spørsmåla før du ser på løysinga.
Kva gjer vi for å komme frå éin figur til den neste? Kva er mønsteret i det vi gjer?
Kor mange små kvadrat vil det vere i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil seie og F6.
Kan du finne ein modell, ein formel, for talet på kvadrat i figur nummer ? Ein formel for .
Kor mange kvadrat er det etter din modell i figur nummer 998?
Løysning
Vis løysing
Vi legg til tre små kvadrat for å komme frå éin figur til neste.
Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrat, Figur 5 av 21 kvadrat og Figur 6 av 24 kvadrat. Det vil seie at og .
Eg ser at talet på kvadrat alltid er lik 3 multiplisert med eit tal som er 2 høgare enn «figurnummeret».. Vi får då modellen
Talet på kvadrat i figur nummer 998 er då .
Trekantar
Ein likesida har areal lik . Midtpunkta på sidene i er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik . Midtpunkta på sidene i er hjørna i ein ny likesida trekant med areal lik . Etter same mønster lager vi trekanter med areal , og så vidare. Denne prosessen tenkjer vi oss held fram i det uendelege. Sjå skissa nedanfor.
Oppgåve
Kva blir arealet til trekant ? Kva blir arealet til trekant ? Kva blir arealet til trekant ?
Kan du finne ein modell, ein formel, for arealet når vi held frem å lage trekantar etter same mønster?
Bruk modellen, og set opp eit uttrykk for arealet ? Kva blir arealet ?
Studer figuren og finn ut kva som blir summen av areala , og så videre. Omkrinsen av er lik 3. Trekanten som har arealet lik har omkrinsen .
Forklar at .
Kan du finne en modell, en formel, for omkrinsen til trekant nr. når vi held fram å lage trekantar etter same mønster?
Bruk modellen og finn .
Løysing
Vis løysing
er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til . har derfor arealet . er éin av fire like store likesida trekantar med samla areal lik arealet til . har derfor arealet . Tilsvarande er , og slik held det fram.
Det tyder at vi får modellen for arealet .
Vi bruker modellen og får at .
utgjer tredjeparten av arealet til firkanten , utgjer tredjeparten av arealet til firkanten , og slik held det fram. Det må tyde at summen av alle dei fargelagte trekantane må vere lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik .
Sidene i er halvparten av sidene i . Omkrinsen til må da vere halvparten av omkrinsen til . Det vil seie at . Sidene i er halvparten av sidene i . Omkrinsen til må da vere halvparten av omkrinsen til . Det vil seie at . Tilsvarande er , og slik held det fram.
