Oppgave

Eksponentialfunksjonen som modell

Løys oppgåver om prosentvis vekst og eksponentialfunksjonar som modellar.

3.3.55

Tabellen viser dagleg bruk av tid på heime-PC i perioden 1994 til 2006 i minutt for ei bestemd gruppe personar. Tala er frå Statistisk sentralbyrå (SSB).

Årstal	1994	1998	1999	2003	2006
Tid i minutt	10	13	18	35	50

a) Legg punkta i eit koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne eit funksjonsuttrykk som passar med punkta. La $x$ vere talet på år frå 1994 og $T (x)$ bruk av tid på heime-PC. Plott punkta og grafen til uttrykket du finn.

Løysing

Vi får plotta både punkta og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lagar ei ny rad i tabellen der vi reknar ut talet på år etter 1994.

Årstal	1994	1998	1999	2003	2006
x	0	4	5	9	12
Tid i minutt	10	13	18	35	50

Vi legg tala inn i to kolonnar i reknearkdelen i GeoGebra, markerer tala og vel knappen "Regresjonsanalyse" frå verktøylinja. Så vel vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 8,91 multiplisert med 1,15 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 13. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Skjermutklipp. — Tid brukt på heime-PC per dag frå 1994 og utover. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $T (x) = 8, 91 \cdot 1, 15^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis tidsbruken med heime-PC har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala (punkta).

b) Kor stor er den gjennomsnittlege, årlege prosentvise auken i bruk av heime-PC etter modellen?

Tips til oppgåva

Bruk vekstfaktoren i modellen.

Løysing

Vekstfaktoren er grunntalet i potensen i modellen, altså 1,15. Det svarer til ein auke på 15 prosent for kvar eining på $x$ -aksen. Sidan eininga på $x$ -aksen er år, blir den årlege prosentvise auken på 15 prosent.

Kommentar: For å vise at ein vekstfaktor på 1,15 svarer til ein auke på 15 prosent, kan vi setje opp uttrykket for vekstfaktoren og få ei likning vi kan løyse:

$1 + \frac{x}{100} = 1, 15$

c) Bruk modellen du fann i a), og finn ut kor mykje tid som vart brukt på heime-PC i 2010 og 2020.

Løysing

År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn dei aktuelle $x$ -verdiane i modellen.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive T av 16. Svaret med tilnærming er 87,84. På linje 2 er det skrive T av 26. Svaret med tilnærming er 367,26. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi gått ut frå at funksjonen har fått namnet "T" i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punkta $(16, T (16))$ og $(26, T (26))$ .

d) Vurder gyldigheita av modellen fram i tid.

Løysing

Modellen verkar truverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutt, det vil seie over 7 timar i 2020, verkar usannsynleg. Modellen vil berre vere gyldig i nokre få år.

e) Korleis ville modellen ha sett ut dersom vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 vart brukt i gjennomsnitt 10 minutt til bruk av heime-PC, og den årlege prosentvise auken skulle vere 9,5 prosent?

Løysing

Ein auke på 9,5 prosent gir ein vekstfaktor på 1,095. Dersom vi kallar den nye funksjonen $T_{2} (x)$ , får vi at

$T_{2} (x) = a \cdot 1, 095^{x}$

Året 1994 svarer til $x = 0$ . Det betyr at dersom vi prøver å rekne ut $T_{2} (0)$ , skal vi få 10 til svar. Dette gir oss ei likning.

$\begin{array}{rcl} T_{2} (0) & = & 10 \\ a \cdot 1, 095^{0} & = & 10 \\ a \cdot 1 & = & 10 \\ a & = & 10 \end{array}$

Modellen blir derfor i dette tilfellet

$T_{2} (x) = 10 \cdot 1, 095^{x}$

f) Denne statistikken vart avslutta av SSB etter 2014. (Kva er grunnen til det, trur du?)

Gå til SSB (ssb.no), og finn tala ved å søkje på "hjemme-PC". Vel "Minutter brukt til hjemme-PC" som statistikkvariabel, vel alle åra under "År", og vel "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med heile befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nedst nede.

Støttar dei siste målingane i tabellen det vi konkluderte med i oppgåve c)?

3.3.56

Tabellen viser temperaturen i eit kjøleskap dei første timane etter eit straumbrot.

Talet på timar etter straumbrotet	0	4	8	12	16	20
Talet på grader i °C	4,0	4,4	6,0	8,9	12,5	17,9

a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne eit funksjonsuttrykk som passar med punkta. La $x$ vere talet på timar etter straumbrotet og $T (x)$ temperaturen i kjøleskapet. Plott punkta og grafen til uttrykket du finn.

Løysing

Grafen til funksjonen T av x er lik 3,51 multiplisert med 1,08 opphøgd i x er teikna for x-verdiar mellom 0 og 25. I tillegg er punkta som funksjonen er generert av, markerte. Grafen er stigande i området og stig gradvis meir og meir. Skjermutklipp. — Temperaturen i eit kjøleskap som funksjon av talet på timar etter eit straumbrot. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $T (x) = 3, 51 \cdot 1, 08^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis temperaturen i kjøleskapet utviklar seg etter straumbrotet. Modellen passar ganske bra med tala (punkta).

b) Kva kan vekstfaktoren i uttrykket for $T (x)$ fortelje oss?

Løysing

Vekstfaktoren er 1,08. Sidan eininga på $x$ -aksen er timar, får vi at temperaturen i kjøleskapet aukar med 8 prosent per time.

c) Vurder gyldigheita til modellen framover i tid. Grunngi svaret ditt.

Løysing

Modellen vil gi ein høgare og høgare temperatur i kjøleskapet. I røynda vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikkje gyldig noko særleg lenger enn cirka eitt døgn etter straumbrotet.

d) Lag ei skisse av korleis du trur temperaturutviklinga i kjøleskapet vil vere dersom vi går ut frå at romtemperaturen er 22 °C.

Tips til oppgåva

Temperaturgrafen må flate ut når temperaturen nærmar seg 22 °C.

3.3.57

Tabellen viser utsleppa av karbondioksid ${CO}_{2}$ i verda målt i millionar tonn for nokre utvalde år mellom 1980 og 2006.

Årstal	1980	1990	2000	2005	2006
Utslepp av ${CO}_{2}$ i millionar tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

a) Plott punkta i tabellen i eit koordinatsystem, og finn ein matematisk modell som beskriv utsleppa av ${CO}_{2}$ . La $x$ vere talet på år etter 1980 og $U (x)$ utsleppa av ${CO}_{2}$ .

Løysing

Vi lagar ei ny rad i tabellen, der vi reknar ut talet på år etter 1980.

Årstal	1980	1990	2000	2005	2006
x	1	10	20	25	26
Utslepp av ${CO}_{2}$ i millionar tonn	18 054	20 988	23 509	27 146	28 003

Grafen til funksjonen T av x er lik 17847 multiplisert med 1,02 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 30. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt stigande i heile området. Skjermutklipp. — Verda sitt utslepp av CO₂ i millionar av tonn. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $U (x) = 17 847 \cdot 1, 02^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis utsleppet i verda av ${CO}_{2}$ har utvikla seg. Modellen passar ganske bra med tala, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon òg?

b) Kva for ein årleg, prosentvis auke i ${CO}_{2}$ -utslepp gir modellen?

Løysing

Vekstfaktoren er 1,02. Sidan eininga på $x$ -aksen er år, får vi at den årlege, prosentvise auken i ${CO}_{2}$ -utsleppet er på 2 prosent.

c) Mange land har vedteke å senke utsleppet av ${CO}_{2}$ i tida framover. Vurder gyldigheita framover i tid av modellen du fann i a).

Løysing

Uttrykket vi fann i a) er eksponentielt, det vil seie at mengda av ${CO}_{2}$ -utslepp vil auke meir og meir. Mest sannsynleg vil ${CO}_{2}$ -utsleppet etter kvart flate ut, og modellen vår blir antakeleg ikkje korrekt langt fram i tid.

d) Finn nyare tal på utslepp av ${CO}_{2}$ . Ta med i modellen tala for 2010, 2015, 2020 og det nyaste talet du finn.

Korleis blir modellen påverka av dette?

3.3.58

Sol Sikke ville finne ut korleis ei solsikke ho hadde i hagen, vaks veke for veke. Ho målte høgda til solsikka kvar veke i 8 veker. Dei observerte verdiane ser du i tabellen nedanfor.

Etter x veker	1	2	3	4	5	6	7	8
Høgde i cm	16	20	27	40	56	68	107	140

a) Plott punkta i eit koordinatsystem, og finn eit funksjonsuttrykk som passar til punkta.

Løysing

Grafen til funksjonen H av x er lik 11 multiplisert med 1,37 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 8. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt stigande i heile området. Skjermutklipp. — Høgda til ei solsikke som funksjon av talet på veker solsikka har vakse. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $H (x) = 11 \cdot 1, 37^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis solsikka har vakse. Modellen passar ganske bra med tala.

b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?

Løysing

Vekstfaktoren er 1,37. Sidan eininga på $x$ -aksen er veker, får vi at den vekefaste veksten i høgda av solsikka er 37 prosent.

c) Vurder gyldigheita til modellen du fann i a).

3.3.59

Punkta i koordinatsystemet nedanfor viser fem observasjonar av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høgder over havet.

5 punkt er teikna inn i eit koordinatsystem. Punkta har koordinatane 0 og 1000, 2 og 800, 4 og 600, 7 og 400 og til slutt 10 og 300. Skjermutklipp. — Lufttrykk målt ved nokre høgder over havet. Bilete: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

a) Finn ein matematisk modell som beskriv lufttrykket målt i millibar.

Løysing

Vi les av koordinatane til punkta i koordinatsystemet og får den følgjande tabellen:

Høgde over havet i km	0	2	4	7	10
Lufttrykk målt i millibar	1 000	800	600	400	300

Grafen til funksjonen f av x er lik 998 multiplisert med 0,88 opphøgd i x er teikna i GeoGebra for x-verdiar mellom 0 og 14. Punkta som funksjonen er basert på, er også teikna inn. Grafen er eksponentielt minkande. Skjermutklipp. — Lufttrykk i millibar som funksjon av høgde over havet i km. Bilete: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vi finn at funksjonen kan beskrivast med uttrykket $f (x) = 998 \cdot 0, 88^{x}$ . Vi seier at dette er ein modell for korleis lufttrykket endrar seg med høgda over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.

b) Kva fortel vekstfaktoren i modellen oss?

Løysing

Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det svarer til ein prosentvis nedgang på 12 prosent. Sidan eininga på $x$ -aksen er km, får vi at lufttrykket blir redusert med 12 prosent for kvar km vi beveger oss rett oppover i lufta.

Noregs høgaste fjell, Galdhøpiggen, ligg 2 469 meter over havet.

c) Kva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fann i a)?

Løysing

Vi løyser oppgåva med CAS ved å setje inn den aktuelle $x$ -verdien inn i modellen.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive f av 2,469. Svaret med tilnærming er 735,375. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Etter modellen vår blir lufttrykket på Galdhøpiggen 735 millibar.

Her har vi gått ut frå at funksjonen har fått namnet " $f$ " i GeoGebra.

Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktet $(2.469, f (16))$ .

3.3.55

3.3.56

3.3.57

3.3.58

3.3.59

Reglar for bruk av teksten "Eksponentialfunksjonen som modell"