Polynomfunksjonen som modell

Lag ein funksjon for høgda av eit rektangel med omkrins 24 cm og breidde $x$ cm. Lag ein verditabell for denne funksjonen.

Vi kallar høgda i rektangelet for $$ h$$. Når breidda er $$ x$$, har vi at

$$ \begin{array}{rcl}2x+2h & =& 24\\ 2h & =& 24-2x\\ \frac{2h}{2} & =& \frac{24-2x}{2}\\ h & =& 12-x\end{array}$$

Vi får funksjonen  $$ h\left(x\right)=12-x$$. Vi lagar deretter ein verditabell.

Så teiknar vi rektangla.

Etter å ha valt eitt av verktøya trykkjer du på eitt av rektangla, og anten kjem arealet eller omkrinsen av rektangelet opp som ein tekstboks. Sjå figuren i førre oppgåve.

Vi lagar først ein tabell over tala vi skal bruke.

Vi legg tala frå tabellen inn i reknearkdelen i GeoGebra og bruker verktøyet "Regresjonsanalyse". Då skal vi få fram eit koordinatsystem med punkta som vist nedanfor.

Det ser ut som om punkta ligg langs ein parabel, det vil seie ein andregradsfunksjon.

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Deretter vel vi "Kopier til grafikkfeltet" for å få grafen til funksjonen over i det vanlege grafikkfeltet. Vi finn at funksjonen $A$ kan beskrivast med andregradsuttrykket

$$ A\left(x\right)=-x^2+12x$$

Vi ser at grafen har toppunkt når  $x=6$. Arealet er altså størst når rektangelet er kvadratisk, det vil seie når breidda er 6 cm. Arealet er då

$$ 6 \mathrm{cm}· 6 \mathrm{cm}=36 {\mathrm{cm}}^2$$

Ifølgje modellen vi fann ovanfor, bør bonden gjerde inn eit kvadratisk område. Sida i kvadratet blir fjerdeparten av 600 m, som er 150 m. Arealet blir då

$$ 150 \mathrm{m}·150 \mathrm{m}=22 500 {\mathrm{m}}^2$$

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra. Vi vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og bruker polynom av grad 2 som regresjonsmodell.

Vi finn at funksjonen $h$ kan beskrivast med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-4,9x^2+14,1x+1,8$$

Vi kan sjå av grafen at ballen er 10 m over bakken etter cirka 0,8 s og etter cirka 2,1 s.

Alternativt kan vi leggje inn linja  $$ y=10$$  i grafikkfeltet i GeoGebra og finne skjeringspunkta mellom grafen og linja.

Ballen treffer bakken der grafen skjer $$ x$$-aksen. Vi ser av grafen at ballen treffer bakken etter cirka 3 s.

Her kunne vi òg brukt verktøyet "Nullpunkt" eller løyst likninga  $$ h\left(x\right)=0$$.

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høgda!

Vi ser av grafen at ballen når det høgaste punktet etter cirka 1,4 s. Då har han ei høgde på 12,0 m over bakken.

Alternativt kan vi løyse oppgåva ved å bruke verktøyet "Ekstremalpunkt" i GeoGebra.

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 2 som regresjonsmodell. Vi finn at funksjonen $T$ kan beskrivast med uttrykket

$$ T\left(x\right)=0,0234x^2-0,69x+2,6$$

Grafen passar nokså bra med dei observerte temperaturane.

30 timar etter at målinga starta, det vil seie kl. 18 neste dag, viser modellen ein temperatur på cirka $$ 3 \mathrm{C}°$$.

48 timar etter at målinga starta, viser modellen ein temperatur på cirka $$ 23 \mathrm{C}°$$. Det verkar usannsynleg når temperaturen på natta var under null.

Modellen er realistisk i det døgnet Per gjorde målingane. Går vi utover denne tida, verkar modellen svært urealistisk. Etter modellen vil temperaturen berre stige utover.

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at funksjonen $$ h$$ kan beskrivast med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-0,066x^3+1,15x^2-4,19x-8,95$$

Vi ser at grafen treffer godt med dei observerte verdiane.

Vi bruker verktøyet "Ekstremalpunkt" på funksjonen $$ h$$ og får eit toppunkt og eit botnpunkt, sjå figuren nedanfor.

Vi ser at grafen er lågare enn botnpunktet dersom vi ser på etter kl. 13, men vi veit eigentleg ikkje kor lågt det går eller kor langt ut i tid modellen gjeld. Vi kan i alle fall seie at mellom midnatt og kl. 12 var den lågaste vasstanden minus 13,4 cm under middel vasstand, og det var kl. 2.15 på natta.

Vi må sjå kvar grafen har verdiar over $$ -10$$. Vi kan sjå av grafen at frå litt før kl. 5 til litt etter kl. 12 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er òg nokre minutt rett etter midnatt det vil vere teoretisk mogleg å leggje til, men kanskje ikkje i praksis.

Vi sjekkar kva verdi vi får 24 timar etter midnatt.

1 døgn (24 timar) etter midnatt viser modellen eit avvik på -360 cm frå middel vasstand. Det er urealistisk, så modellen er ikkje gyldig fram i tid.

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at tredjegradsfunksjonen

$$ T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$$

passar godt som modell for temperaturutviklinga.

Vi observerer at modellen passar best fram til kl. 15. Så søkk temperaturen raskare enn det modellen gir.

Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg. Etter 24 timar vil temperaturen ifølgje modellen stadig gå nedover.