Korleis vi teiknar grafen til ein rasjonal funksjon

For å finne eventuelle vertikale asymptotar set vi først nemnaren i funksjonsuttrykket lik null.

I eksempelet i artikkelen Rasjonale funksjonar såg vi på funksjonen

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$

Når vi set nemnaren lik null, får vi likninga $x+2=0$, som gir $x=-2$.

Vi undersøkjer så om teljaren er forskjellig frå null for denne verdien av $x$.

$x-2=-2-2=-4\ne 0$

Det viser seg at ein brøk sin verdi alltid vil gå mot anten pluss eller minus uendeleg når $x$ nærmar seg eit tal som gir null i nemnar og eit tal forskjellig frå null i teljar.

Det betyr at $x=-2$ er ein vertikal asymptote til funksjonen $f$.

Vi finn ein eventuell horisontal asymptote ved å la $x$ gå mot eit uendeleg stort positivt eller eit uendeleg lite negativt tal.

Når $x$ er eit veldig stort tal eller eit veldig lite tal, vil konstantane $-2$ og $2$ i brøken bety minimalt.

Då er

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\approx \frac{x}{x}=1$

Grafen vil altså nærme seg linja $y=1$ når $x$ går mot eit uendeleg stort positivt eller eit uendeleg lite negativt tal.

Linja $y=1$ er ein horisontal asymptote til funksjonen.

Når du skal teikne grafen av ein rasjonal funksjon utan digitale hjelpemiddel, er det mykje lettare dersom du først finn eventuelle asymptotar og teiknar opp desse.

* * * * * *

Den rasjonale funksjonen i dømet ovanfor har førstegradspolynom i teljar og nemnar. Rasjonale funksjonar kan òg ha andre typar polynom i teljar og nemnar, til dømes andregradspolynom.

Merk at òg funksjonen $h\left(x\right)=\frac{1}{x}$ er eit eksempel på ein rasjonal funksjon.