Fagartikkel

Faktorisering av andregradsuttrykk ved "stiremetoden"

Faktorisering kan vere kreativt!

Du har no lært korleis du kan faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat. Du skal òg lære ein metode som blir kalla nullpunktsmetoden. Felles for desse er at dei er tidkrevjande.

Faktorisering av andregradsuttrykk får du mykje bruk for, spesielt når du skal løyse andregradslikningar og tredjegradslikningar.

Det fine er at det finst ein enkel og kjapp metode som kan brukast på svært mange andregradsuttrykk. Denne metoden blir ofte kalla for stiremetoden.

Stiremetoden

Du har sett at $x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$ .

Heile faktoriseringa går eigentleg berre ut på å finne tala $+ 5$ og $- 1$ . Det spesielle med desse tala er at produktet er lik konstantleddet i uttrykket som skal faktoriserast, $(+ 5) \cdot (- 1) = - 5$ , og summen er lik koeffisienten framfor førstegradsleddet $(+ 5) + (- 1) = + 4$ .

Kvifor er det alltid slik?

Det generelle andregradsuttrykket kan skrivast på forma $a x^{2} + b x + c$ . Når $a =1$ , får vi $x^{2} + b x + c$ .

La $d og e$ vere to tal. No er

$(x + d) (x + e) = x^{2} + d x + e x + d e = x^{2} + (d + e) x + d \cdot e$

Det betyr at viss $d \cdot e = c$ og $d + e = b$ , så er

$x^{2} + b x + c = (x + d) (x + e)$

Det gjeld å finne tala $d og e$ der produktet er lik $c$ og summen er lik $b$ .

Dersom du er god i hovudrekning, kan du i mange tilfelle klare å finne desse tala. Dersom du ikkje er god i hovudrekning, er det ein fin måte å bli god i hovudrekning på.

Eksempel 1

Vi skal faktorisere $x^{2} + 4 x - 5$ .

Både $(+ 5) \cdot (- 1) = - 5$ og $(- 5) \cdot (+ 1) = - 5$ , men det er berre $(+ 5) + (- 1)$ som er lik $+ 4$ . Det betyr at

$x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$

Eksempel 2

Vi skal faktorisere $2 x^{2} - 8 x - 42$ .

Først set vi talet 2 utanfor ein parentes og får

$2 x^{2} - 8 x - 42 = 2 (x^{2} - 4 x - 21)$ .

Så kan vi faktorisere $x^{2} - 4 x - 21$ .

Vi har her fleire kombinasjonar av to tal med eit produkt som blir lik $- 21$ :

$(+ 3) \cdot (- 7) = (- 3) \cdot (+ 7) = (- 1) \cdot (+ 21) = (+ 1) \cdot (- 21) = - 21$

Det er berre $(+ 3) + (- 7)$ som er lik $- 4$ . Det betyr at

$2 x^{2} - 8 x - 42 = 2 (x^{2} - 4 x - 21) = 2 ((x + 3) (x - 7))$

Stiremetoden

Eksempel 1

Eksempel 2

Reglar for bruk av teksten "Faktorisering av andregradsuttrykk ved "stiremetoden""