Hopp til innhold
Oppgave

Hvordan bestemme den deriverte i et punkt algebraisk

Øv på å derivere funksjoner i et punkt algebraisk.

Definisjonen av den deriverte

f'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx

2.3.10

a) Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte av funksjonen

fx=3

Løsning

fx+x=3f'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx03-3Δx=limΔx00Δx=0

b) Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte av funksjonen

fx=k

Løsning

fx+x=kf'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0k-kΔx=limΔx00Δx=0

2.3.11

For hver av oppgavene under skal du bruke definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte i punktet  x=2  og beskrive hva den deriverte i punktet  x=2  betyr.

a) fx=x

Løsning

f2=2f2+x=2+xf'2=limΔx0f2+Δx-f2Δx=limΔx02+x-2Δx=limΔx0xΔx=limΔx01=1

At den deriverte er lik 1, betyr at stigningen i punktet  x=2  er 1, at stigningstallet til tangenten til grafen i punktet  x=2  er 1, og at den momentane vekstfarten i punktet  x=2  er 1.

Siden funksjonen er lineær, kunne vi ha lest stigningstallet direkte ut fra funksjonsuttrykket.

b) fx=3x

Løsning

f2=3·2=6f2+x=3(2+x)=6+3xf'2=limΔx0f2+Δx-f2Δx=limΔx06+3x-6Δx=limΔx03xΔx=limΔx03=3

Stigningen i punktet  x=2  er 3. Det betyr at stigningstallet til tangenten til grafen i punktet  x=2  er 3. Den momentane vekstfarten i punktet  x=2  er 3.

Siden vi vet at grafen er ei rett linje, ser vi at stigningstallet er lik 3.

c) fx=x2

Løsning

f2=22=4f2+x=2+x2=4+4x+x2f'2=limΔx0f2+Δx-f2Δx=limΔx04+4x+x2-4Δx=limΔx04x+x2Δx=limΔx04+x=4

Stigningen i punktet  x=2  er 4. Stigningstallet til tangenten til grafen i punktet  x=2  er 4. Den momentane vekstfarten i punktet  x=2  er 4.

d) fx=2x2+4

Løsning

f2=2·22+4=12f2+x=22+x2+4=2(22+2·2·x+(x)2)+4=12+8x+2(x)2f'2=limΔx0f2+Δx-f2Δx=limΔx012+8x+2(x)2-12Δx=limΔx012+8x+2x2+12Δx=limΔx08x+2(x)2Δx=limΔx0x8+2xΔx=8

Stigningen i punktet  x=2  er 8. Stigningstallet til tangenten til grafen i punktet  x=2  er 8. Den momentane vekstfarten i punktet  x=2  er 8.

2.3.12

a) Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte til den generelle førstegradsfunksjonen.

Løsning

Den generelle førstegradsfunksjonen er fx=ax+b.

fx+x=ax+x+b=ax+ax+bf'x=limΔx0fx+x-fxΔx=limΔx0ax+ax+b-ax+bΔx=limΔx0ax+ax+b-ax-bΔx=limΔx0axΔx=limΔx0a=a

b) Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte til den generelle andregradsfunksjonen.

Løsning

Den generelle andregradsfunksjonen:

fx=ax2+bx+c

fx+x=ax+x2+bx+x+c=ax2+2xx+x2+bx+bx+c=ax2+2axx+ax2+bx+bx+cf'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0ax2+2axx+ax2+bx+bx+c-ax2+bx+cΔx=limΔx02axx+ax2+bxΔx=limΔx02axx+ax2+bxΔx=limΔx02ax+ax+b=2ax+b

2.3.13

Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den deriverte.

a) gx=1x

Løsning

fx+x=1x+xf'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx01x+x-1xΔx=limΔx01·x(x+x)·x-1·(x+x)x(x+x)Δx=limΔx0x-(x+x)x(x+x)Δx=limΔx0x-x-xx(x+x)Δx=limΔx0xx(x+x)Δx=limΔx0-xx(x+x)·1x=limΔx0-xxx+xx=limΔx0-xxx+xx=limΔx0-1x2+xx=-1x2

b) hx=1x-1

Løsning

fx+x=1x+x-1f'x=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx01x+x-1-1x-1Δx=limΔx01x+x-1-1x-1·1x=limΔx0x-1-x+x-1x+x-1·x-1·1x=limΔx0x-1-x-x+1x+x-1·x-1·1x=limΔx0-xx+x-1·x-1·1x=limΔx0-xx+x-1·x-1·1x=-1x-12

2.3.14

a) Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme den momentane vekstfarten til  fx=x2+3  i punktet  x=5.

Løsning

f5=52+3=28f5+x=5+x2+3=52+2·5x+x2+3=28+10x+x2f'5=limΔx0fx+Δx-fxΔx =limΔx028+10x+x2-28Δx=limΔx028+10x+x2+28x=limΔx010x+x2x=limΔx010+x= 10

b) Bruk digitale verktøy til å bestemme den momentane vekstfarten til  fx=x2+3  i punktet  x=5.

Løsning

Vi løser i GeoGebra: