Hvordan finner vi den momentane vekstfarten i et punkt grafisk?
2.3.20
På Kvassøy blir det satt ut kaniner. De formerer seg raskt, og antall kaniner på øya etter år er gitt ved Kx=3602+34e-x.
a) Tegn grafen som viser hvor mange kaniner det er på Kvassøy etter x antall år og finn hvor mange kaniner som ble satt ut på øya.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Husk å skrive inn aksetitler.
Vi skriver inn K0 og får 10. Det ble satt ut 10 kaniner på Kvassøy.
b) Finn grafisk hvor mye antallet kaniner på Kvassøy øker per år etter det første året.
Løsning
Vi skriver (1, K(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til K i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=21,39. Etter det første året øker antallet kaniner med 21,4 kaniner per år.
c) Finn grafisk momentan vekstfart for antall kaniner på Kvassøy etter fem år.
Løsning
Vi skriver (5, K(5)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til K i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=16,6. Den momentane vekstfarten for antall kaniner på Kvassøy etter fem år 16,6 kaniner per år.
d) Finn grafisk K'10.
Løsning
Vi skriver (10, K(10)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til K i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=0,14. K'10=0,14.
e) Kommenter K'5ogK'10. Hva vil tallene si for kaninbestanden på Kvassøy?
Løsning
K'5 er 16,6, og det betyr at etter nøyaktig 5 år vokser kaninbestanden på Kvassøy med 16,6 kaniner årlig. K'10 er 0,14, og det betyr at etter nøyaktig 10 år øker kaninbestanden på øya med bare 0,14 kaniner årlig. Vi ser at økningen av kaniner på Kvassøy minker betraktelig mellom 5 og 10 år etter at man satte ut kaniner på øya. Dette passer godt med grafen som viser en utflating i antall kaniner på øya.
2.3.21
Under ser du grafen til fx. På grafen er det tegnet inn to punkter, og i hvert punkt er det tegnet inn en tangent som berører grafen. Finn momentan vekstfart i hvert av punktene.
Løsning
Man kan finne den momentane vekstfarten i et punkt ved å studere tangenten i punktet og for eksempel å telle ruter eller å bruke formelen for stigningen for ei linje. Vi finner to punkter (-2,8) og -1,4 på tangenten til venstre og ser at vi flytter oss fire enheter nedover når vi flytter oss én enhet bortover. (Legg merke til at éi rute i loddrett retning er to enheter.) Stigningen er derfor -4. I punktet 2,8 gjør vi det samme og finner at stigningen til tangenten som berører punktet, er 4.
2.3.22
Funksjonen f er gitt ved fx=x2+4x+2.
a) Bestem stigningen til f når x=-2 grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=0, som viser at funksjonen har stigningen 0 når x=-2.
b) Bestem den deriverte til f når x=1 grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=6 som viser at den deriverte til f er 0 når x=1.
2.3.23
Funksjonen f er gitt ved fx=x3-2x+1
a) Bestem den momentane vekstfarten til f når x=-2 grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=10 som viser at den momentane vekstfarten når x=-2 er lik 10.
b) Bestem den deriverte til f når x=2 grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (2,f(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=10 som viser at den deriverte når x=-2 er lik 10.
c) Finn ekstremalpunktene, og bestem stigningen i punktene grafisk.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi finner ekstremalpunktene til funksjonen og lager en tangent i hvert ekstremalpunkt. Vi finner stigningen til hver av tangentene, og begge stigningene er lik 0. Ekstremalpunkter slik som toppunktet og bunnpunktet vi fant her, har stigning lik 0.
2.3.24
Diskuter i par.
I bildet over ser dere grafen til fx (blå linje) og grafen til f'x (grønn linje). Det er merket av fire punkter og to tangenter. Forklar og begrunn hva dere ser på bildet.
2.3.25
Under ser du grafene til tre funksjoner, blå grafer, og deres deriverte, grønne grafer. Finn for hver funksjon hvilken derivert som hører til funksjonen, og forklar hvorfor de hører sammen.
Funksjon
Den deriverte til funksjonen
Funksjon A
Derivert 1
Funksjon B
Derivert 2
Funksjon C
Derivert 3
Løsning
Funksjon A hører sammen med derivert 3. Funksjon B hører sammen med derivert 1. Funksjon C hører sammen med derivert 2.
2.3.26
En vakker sommerdag i Røros ble temperaturen mellom kl. 9.00 og 19.00 i °C gitt ved
R(x)=-0,23x2+2x+13
Samtidig ble temperaturen i °C i Kristiansand gitt ved
Kx=-0,42x2+3,2x+17
For begge uttrykkene gjelder at x er antall timer etter kl. 9.00.
a) Tegn grafene til R og K i det samme koordinatsystemet for tidsrommet fra kl. 9.00 til kl. 19.00.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og kommandoen "Funksjon (<Funksjon>, <Start>, <Slutt>)". Vi setter inn funksjonsuttrykkene med start 0 og slutt 10.
b) Hva er den momentane vekstfarten til temperaturen i Kristiansand kl. 11.00 denne formiddagen?
Løsning
Vi bruker GeoGebra, skriver (2,K(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=1,52, som viser at den momentane vekstfarten når x=2 er lik 1,52. Det betyr at kl. 11.00 den formiddagen steg temperaturen i Kristiansand med 1,52 grader celsius per time.
c) Bestem temperaturstigningen kl. 18.00 i Røros.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (9,R(9)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a1=-2,14, som viser at den momentane vekstfarten når x=9 er lik -2,14. Det betyr at kl. 18.00 den ettermiddagen sank temperaturen i Røros med 2,1 grader celsius per time.
d) Finn R'6ogK'6, og forklar hva svaret betyr i praksis.
Løsning
Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (6,K(6)) og (6,R(6)) inn i algebrafeltet og får punktene. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinjene. Vi bruker kommandoen "Stigning (<Linje>)" og får a=-1,84 og a=-0,76, som viser at den momentane vekstfarten i temperatur kl. 15.00 på dagen er -1,8 for Kristiansand og -0,8 for Røros. Vi ser at temperaturfallet er høyere i Kristiansand enn i Røros på det tidspunktet. Det betyr at kl. 15.00 den dagen sank temperaturen i Kristiansand med 1,8 grader celsius per time, mens temperaturen i Røros sank med 0,8 grader celsius per time på det samme tidspunktet.