Den deriverte til en funksjon viser oss hvor raskt funksjonen endrer seg. Derivasjon brukes mye i matematikk og i andre realfag.
På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen (blå kurve). Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet Ax,fx.
Vi gir x et tillegg Δx og får et nytt punkt B på grafen:
Bx+Δx,fx+Δx
Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.
Vi regner ut stigningstallet a til denne linja.
a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx
Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.
Prøv selv
Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null. På den interaktive figuren nedenfor kan du dra i punktet B. Hva skjer når du drar punktet mot punktet A?
Når punktet B dras mot punktet A, vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til grafen i punktet A.
Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane vekstfarten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriver f'x og leser det som "f derivert av x". Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f: f'.
Den deriverte
Vi ser på grafen ovenfor.
f'x er den verdien ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmer seg mot når Δx går mot null.
Definisjon:
f'x=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0fx+Δx-fxΔx
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.
Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.
Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt (x,f(x)) kan vi definere en ny funksjon f' der vi til hver x tilordner verdien f'x. På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon f'. Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.