Koordinatene til et punkt. Avstand i planet

Å finne koordinatene til et punkt

Gitt $∆ABC$ i koordinatsystemet til høyre.
La M være midtpunktet på BC.

Vi ønsker å finne punktkoordinatene til
punktet M. Dette kan vi gjøre ved å finne posisjonsvektoren til punktet, altså $\overrightarrow{OM}.$

Posisjonsvektoren til punktet M kan skrives som summen av posisjonsvektoren til punktet B og halve vektoren som går fra B til C:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OM}& =& \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}\\ & & \\ & =& \overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\frac{1}{2}\left[6-8, 5-1\right]\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\frac{1}{2}\left[-2, 4\right]\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\left[-1, 2\right]\\ & & \\ & = & \left[7, 3\right]\end{array}$

Dette betyr at punktet M har koordinatene $(7, 3)$.

Avstand fra punkt til linje

Når vi skal finne en slik avstand, er det viktig å huske på at den korteste avstanden fra et punkt til ei linje er lengden av det linjestykket eller den vektoren som går fra punktet og som står vinkelrett på linja.

Å finne høyden i en trekant

Vi ønsker å finne høyden fra C på AB i figuren til høyre.

Denne høyden er det samme som lengden av $\overrightarrow{CD}$. Vi trenger å finne koordinatene til punktet D for å regne ut denne lengden.

Siden D ligger på $\overrightarrow{AB}$, må vektorene $\overrightarrow{AD}$ og $\overrightarrow{AB}$ være parallelle. Det gir grunnlag for å sette opp følgende uttrykk for $\overrightarrow{CD}:$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{CD}& = & \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\\ & & \\ & =& \overrightarrow{CA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & & \\ & =& \left[-4,-2\right]+t\left[6,-2\right]\\ & & \\ & =& \left[-4+6t,-2-2t\right]\end{array}$

Vektorene $\overrightarrow{CD}$ og $\overrightarrow{AB}$ skal være ortogonale.

Det gir

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{CD}·\overrightarrow{AB} & = & 0\\ & & \\ \left[-4+6t,-2-2t\right]·\left[6,-2\right]& =& 0\\ & & \\ \left(-4+6t\right)·6+\left(-2-2t\right)·\left(-2\right)& =& 0\\ & & \\ -24+36t+4+4t& =& 0\\ & & \\ 40t& =& 20\\ & & \\ t& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Posisjonsvektoren til punktet D blir

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}=\left[2, 3\right]+\frac{1}{2}\left[6, -2\right]=\left[5, 2\right]$.

Det betyr at punktet D har koordinatene $\left(5, 2\right)$. Høyden i trekanten blir lik lengden av $\overrightarrow{CD}$.

$\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\left[5-6, 2-5\right]\right|=\left|\left[-1, -3\right]\right|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$