Oppgave

Koordinatene til et punkt. Avstand i planet

Her får du jobbe med oppgaver om punkter og avstander i planet.

4.3.1

Vi har gitt punktet $A (4, 2)$ og vektorene $\vec{A B} = [2, 4], \vec{B C} = [2, - 1], \vec{C D} = [- 2, - 6]$ og $\vec{D E} = [- 6, 1]$ .

Finn koordinatene til punktene B, C, D og E.

Løsning

Vi finner posisjonsvektorene til de ulike punktene:

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = [4, 2] + [2, 4] = [4 + 2, 2 + 4] = [6, 6] \\ \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{B C} = [6, 6] + [2, - 1] = [6 + 2, 6 + (- 1)] = [8, 5] \\ \vec{O D} = \vec{O C} + \vec{C D} = [8, 5] + [- 2, - 6] = [8 + (- 2), 5 + (- 6)] = [6, - 1] \\ \vec{O E} = \vec{O D} + \vec{D E} = [6, - 1] + [- 6, 1] = [0, 0] \end{array}$

Vi ser at punktene er $B (6, 6), C (8, 5), D (6, - 1)$ og $E (0, 0)$ .

4.3.2

Vi har gitt punktene $A (5, 3), B (6, 0)$ og $C (11, 5)$ .

a) Finn et punkt P på $\vec{B C}$ slik at $\vec{A P} ⊥ \vec{B C}$ .

Løsning

Vi har at $\vec{B P} = t \cdot \vec{B C}$ fordi $\vec{B P} ∥ \vec{B C}$ .

Vi kan da finne uttrykk for $\vec{A P}$ og $\vec{B C}$ og sette skalarproduktet mellom dem lik 0:

$\begin{array}{l} \vec{B C} = [11 - 6, 5 - 0] = [5, 5] \\ \vec{A P} = \vec{A B} + \vec{B P} = [6 - 5, 0 - 3] + t \cdot [5, 5] = \\ [1, - 3] + [5 t, 5 t] = [1 + 5 t, - 3 + 5 t] \\ \vec{B C} \cdot \vec{A P} = 0 \\ [5, 5] \cdot [1 + 5 t, - 3 + 5 t] = 0 \\ 5 (1 + 5 t) + 5 (- 3 + 5 t) = 0 \\ 5 + 25 t - 15 + 25 t = 0 \\ 50 t = 10 \\ t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \\ \vec{A P} = [1 + 5 \cdot \frac{1}{5}, - 3 + 5 \cdot \frac{1}{5}] = [2, - 2] \\ \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P} = [5, 3] + [2, - 2] = [7, 1] \end{array}$

Dette betyr at P er $(7, 1)$ .

b) Finn høyden i trekanten ABC fra A.

Løsning

Dette gjør vi ved å finne lengden av $\vec{A P}$ .

$|\vec{A P}| = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{8}$

c) Bruk resultatet i b) for å finne arealet til trekanten ABC.

Løsning

$\begin{array}{l} |\vec{B C}| = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} \\ A_{Δ} = \frac{|\vec{B C}| \cdot |\vec{A P}|}{2} = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{50}}{2} = \frac{\sqrt{400}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \end{array}$

4.3.3

Vi har gitt punktet $A (2, 3)$ og vektorene $\vec{A B} = [4, 1]$ og $\vec{A C} = [3, - 2]$ .

a) Finn koordinatene til B og C.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = [2, 3] + [4, 1] = [6, 4] \\ \vec{O C} = \vec{O A} + \vec{A C} = [2, 3] + [3, - 2] = [5, 1] \\ B (6, 4) \\ C (5, 1) \end{array}$

b) Finn lengden av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} |\vec{A B}| = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17} \\ |\vec{A C}| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{13} \end{array}$

c) Finn vinkelen mellom $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løsning

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = |\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}| \cdot \cos ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) \\ \cos ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{4 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2)}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} = \frac{10}{\sqrt{17 \cdot 13}} \\ ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) \approx 47, 6 ° \end{array}$

d) Bruk opplysningene i b) og c) til å finne arealet til trekanten ABC.

Løsning

Siden vi nå kjenner to sidelengder og vinkelen mellom de to sidene, kan vi bruke formelen for areal av trekanter:

$T = \frac{1}{2} \cdot |\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}| \cdot \sin ∠ (\vec{A B}, \vec{A B}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \sin 47, 6 ° = 5, 48 \approx 5, 5$

e) Punktet D ligger slik at firkanten ACDB er et parallellogram. Finn arealet av parallellogrammet.

Løsning

Dette parallellogrammet er dobbelt så stort som trekant ABC (tenk gjennom hvorfor!), så arealet er 11.

f) Finn koordinatene til D.

Løsning

$\begin{array}{l} D : (x, y) \\ \vec{C D} = [x - 5, y - 1] \\ \vec{A B} = \vec{C D} \\ [4, 1] = [x - 5, y - 1] \\ 4 = x - 5 \Rightarrow x = 9 \\ 1 = y - 1 \Rightarrow y = 2 \\ D (9, 2) \end{array}$

4.3.4

Vi har gitt punktene $A (3, 2), B (9, 6)$ og $C (2, 10)$ .

Finn avstanden fra C til linja gjennom A og B.

Løsning

Vi kaller fotpunktet fra C til linja for P og finner lengden av $\vec{C P}$ :

$\begin{array}{l} \vec{C P} = \vec{C A} + \vec{A P} = \vec{C A} + t \cdot \vec{A B} = [1, - 8] + t [6, 4] = [1 + 6 t, - 8 + 4 t] \\ \vec{C P} \cdot \vec{A B} = 0 \\ [1 + 6 t, - 8 + 4 t] \cdot [6, 4] = 0 \\ 6 (1 + 6 t) + 4 (- 8 + 4 t) = 0 \\ 6 + 36 t - 32 + 16 t = 0 \\ 52 t = 26 \\ t = \frac{1}{2} \\ |\vec{C P}| = |[1 + 6 \cdot \frac{1}{2}, - 8 + 4 \cdot \frac{1}{2}]| = |[4, - 6]| = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52} \end{array}$

Vektorer brukt til å beregne ulike størrelser i planet

4.3.1

4.3.2

4.3.3

4.3.4