Å uttrykke en vektor på flere måter

Vi ønsker å uttrykke vektoren $\overrightarrow{AM}$ ved hjelp av vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$.
$M$ er midtpunktet på $BC$. Se figuren.

Vektoren $\overrightarrow{AM}$ kan uttrykkes på to måter:

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ og $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$

Vektorene $\overrightarrow{BM}$ og $\overrightarrow{CM}$ er like lange og motsatt rettet. Det betyr at

$\begin{array}{rcl}2·\overrightarrow{AM}& = & \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}\\ & & \\ 2·\overrightarrow{AM}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BM}\\ & & \\ 2·\overrightarrow{AM}& =& \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\ & & \\ \overrightarrow{AM}& =& \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{array}$

Mange geometriske problemstillinger kan løses ved å uttrykke en vektor på to ulike måter. Vi «følger to veier» for å komme fra utgangspunkt til endepunkt.

Det vi egentlig har gjort i eksemplet over, er å dekomponere $$ \overrightarrow{AM}$$ ved hjelp av $$ \overrightarrow{AB} \mathrm{og} \overrightarrow{AC}$$. I noen tilfeller kan det bli ryddigere hvis vi gir navn til vektorene vi bruker som basisvektorer. Vi skal bruke dette for å bevise en viktig setning fra geometrien, nemlig mediansetningen.

Bevis for mediansetningen

En median i en trekant er et linjestykke som går fra et hjørne til midtpunktet på den motstående sida (se bildet under)

Mediansetningen om trekanter lyder slik:

Vi skal gjøre beviset for mediansetningen i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjæringspunktet S mellom $$ A{M}_2 \mathrm{og} B{M}_3$$ deler de to linjestykkene i forholdet 2 : 1. Så (trinn 2) skal vi vise at S også ligger på linjestykket $$ C{M}_1$$ og deler dette i det samme forholdet.

Trinn 1:

På trekanten har vi satt $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$$. Da får vi at $$ \overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$$.

Vi starter med å uttrykke vektoren $$ \overrightarrow{AS}$$ på to ulike måter ved hjelp av disse vektorene.

Først går vi direkte fra A til S. Vi vet at $$ \overrightarrow{AS}$$ er parallell med $$ \overrightarrow{A{M}_2}$$ , derfor kan vi skrive $$ \overrightarrow{AS}=k·\overrightarrow{A{M}_2}$$:
$$ \overrightarrow{AS}=k·\overrightarrow{A{M}_2}=k·\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=k·\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\right)=\frac{1}{2}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{b}$$Så velger vi veien om B og får at:
$$ \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+t·\overrightarrow{B{M}_3}=\overrightarrow{a}+t\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{a}+t\left(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\right)=\left(1-t\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{b}$$

Disse to uttrykkene beskriver den samme vektoren og må altså være like. Vi setter dem lik hverandre og løser likningssettet vi nå får:

$$ \begin{array}{llll}\frac{1}{2}k\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}k\overrightarrow{b}=\left(1-t\right)\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{b}& & & \\ \Updownarrow & & & \\ \frac{1}{2}k=1-t& \wedge & \frac{1}{2}k=\frac{1}{2}t& \\ & & \Updownarrow & \\ & & k=t& \\ \frac{1}{2}t=1-t& & & \\ \Updownarrow & & & \\ t=\frac{2}{3}& & k=\frac{2}{3}& \end{array}$$

Første trinn i beviset er nå ferdig – vi har vist at skjæringspunktet mellom to av medianene deler begge disse medianene i forholdet 2 : 1.

Trinn 2:

Nå skal vi vise at S også ligger på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette innebærer å vise at $$ \overrightarrow{CS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C{M}_1}$$.

Vi starter med å uttrykke de to vektorene ved hjelp av basisvektorene:

$$ \begin{array}{l}\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AS}=-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}·\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}·\frac{2}{3}\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\\ \overrightarrow{C{M}_1}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\end{array}$$

Ved å regne ut forholdet mellom koeffisientene til $$ \overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{b}$$ kan vi fullføre beviset:

$$ \begin{array}{lll}\frac{\frac{1}{3}\overrightarrow{a}}{\frac{1}{2}\overrightarrow{a}}=\frac{2}{3}& & \frac{-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}}{-\overrightarrow{b}}=\frac{2}{3}\\ \overrightarrow{CS}=\frac{2}{3}\overrightarrow{C{M}_1}& & \end{array}$$

Vi har nå, ved hjelp av å uttrykke en vektor på to måter, bevist både at alle medianene i trekanten krysser hverandre i ett og samme punkt, og at dette punktet deler alle medianene i forholdet 2 : 1.