Oppgave

Å uttrykke en vektor på flere måter

Her kan du jobbe med oppgaver hvor du får bruk for å uttrykke vektorer på flere måter. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Oppgave 1

Vi har gitt firkanten ABCD der $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

a) Forklar at ABCD er et parallellogram.

Løsning

I et parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i en firkant er like lange og parallelle, må også de to andre være det. To like vektorer er både like lange og parallelle, og må dermed (hvis de ikke ligger på linje) spenne ut et parallellogram.

Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A D} = \vec{b}$ .

b) Uttrykk diagonalene $\vec{A C}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

Diagonalene skjærer hverandre i punktet S.

c) Uttrykk $\vec{A S}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ på to måter. (Tips: Bruk det du fant i b).)

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A S} = t \cdot \vec{A C} = t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} \\ \vec{A S} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a}) + k \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \end{array}$

d) Bruk resultatene fra c) til å vise at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram er midtpunktet på diagonalene.

Løsning

Her må vi vise at $\vec{A S} = \frac{1}{2} \vec{A C} og \vec{B S} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ , altså at $t = k = \frac{1}{2}$ :

$\begin{array}{l} \vec{A S} = \vec{A S} \\ t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \\ t = (1 - k) \land t = k \\ t = 1 - t \\ t = \frac{1}{2} = k \end{array}$

Oppgave 2

Vi har en trekant ABC. Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A C} = \vec{b}$ .

Punktene D og E ligger slik at $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ og $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ . Punktet F er skjæringspunktet mellom linjestykkene BD og AE.

a) Uttrykk $\vec{A E}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C}) = \vec{a} + \frac{1}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \end{array}$

b) Uttrykk $\vec{A F}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . (Tips: Uttrykk $\vec{A F}$ på to måter.)

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A F} = t \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A F} \\ \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \frac{2}{3} t = (1 - k) \land \frac{1}{3} t = \frac{1}{2} k \Rightarrow k = \frac{2}{3} t \\ \frac{2}{3} t = 1 - \frac{2}{3} t \\ \frac{4}{3} t = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \\ \vec{A F} = \frac{3}{4} \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \end{array}$

Vi setter nå $A = (- 2, 0), B = (4, 0)$ og $C = (4, 10)$ .

c) Bruk det du har funnet i a) og b) til å bestemme koordinatene til D, E og F.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{A B} = [4 - (- 2), 0] = [6, 0] \\ \vec{b} = \vec{A C} = [4 - (- 2), 10 - 0] = [6, 10] \\ \vec{O D} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 10] = [- 2 + 3, 0 + 5] = [1, 5] \\ \vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = [- 2, 0] + \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{2}{3} [6, 0] + \frac{1}{3} [6, 10] = [- 2 + 4 + 2, 0 + 0 + \frac{10}{3}] = [4, \frac{10}{3}] \\ \vec{O F} = \vec{O A} + \vec{A F} = [- 2, 0] + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 0] + \frac{1}{4} [6, 10] = [- 2 + 3 + \frac{6}{4}, 0 + 0 + \frac{10}{4}] = [\frac{10}{4}, \frac{10}{4}] \\ D (1, 5), E (4, \frac{10}{3}), F (\frac{10}{4}, \frac{10}{4}) \end{array}$

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Oppgave

Å uttrykke en vektor på flere måter

Her kan du jobbe med oppgaver hvor du får bruk for å uttrykke vektorer på flere måter. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Oppgave 1

Vi har gitt firkanten ABCD der $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

a) Forklar at ABCD er et parallellogram.

Løsning

Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A D} = \vec{b}$ .

b) Uttrykk diagonalene $\vec{A C}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

Diagonalene skjærer hverandre i punktet S.

c) Uttrykk $\vec{A S}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ på to måter. (Tips: Bruk det du fant i b).)

Løsning

d) Bruk resultatene fra c) til å vise at skjæringspunktet mellom diagonalene i et parallellogram er midtpunktet på diagonalene.

Løsning

Her må vi vise at $\vec{A S} = \frac{1}{2} \vec{A C} og \vec{B S} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ , altså at $t = k = \frac{1}{2}$ :

$\begin{array}{l} \vec{A S} = \vec{A S} \\ t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \\ t = (1 - k) \land t = k \\ t = 1 - t \\ t = \frac{1}{2} = k \end{array}$

Oppgave 2

Vi har en trekant ABC. Vi setter $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A C} = \vec{b}$ .

Punktene D og E ligger slik at $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ og $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ . Punktet F er skjæringspunktet mellom linjestykkene BD og AE.

a) Uttrykk $\vec{A E}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løsning

b) Uttrykk $\vec{A F}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . (Tips: Uttrykk $\vec{A F}$ på to måter.)

Løsning

Vi setter nå $A = (- 2, 0), B = (4, 0)$ og $C = (4, 10)$ .

c) Bruk det du har funnet i a) og b) til å bestemme koordinatene til D, E og F.

Løsning

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.