Oppgåve

Å uttrykkje ein vektor på fleire måtar

Her kan du jobbe med oppgåver der du får bruk for å uttrykkje vektorar på fleire måtar.

4.3.10

Vi har gitt firkanten ABCD der $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

a) Forklar at ABCD er eit parallellogram.

Løysing

I eit parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i ein firkant er like lange og parallelle, må òg dei to andre vere det. To like vektorar er både like lange og parallelle, og må dermed (viss dei ikkje ligg på linje) spenne ut eit parallellogram.

Vi set $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A D} = \vec{b}$ .

b) Uttrykk diagonalane $\vec{A C}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D} = - \vec{a} + \vec{b} \end{array}$

Diagonalane skjer kvarandre i punktet S.

c) Uttrykk $\vec{A S}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ på to måtar. (Tips: Bruk det du fann i b).)

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{A S} = t \cdot \vec{A C} = t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} \\ \vec{A S} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a}) + k \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \end{array}$

d) Bruk resultata frå c) til å vise at skjeringspunktet mellom diagonalane i eit parallellogram er midtpunktet på diagonalane.

Løysing

Her må vi vise at $\vec{A S} = \frac{1}{2} \vec{A C} og \vec{B S} = \frac{1}{2} \vec{B D}$ , altså at $t = k = \frac{1}{2}$ :

$\begin{array}{l} \vec{A S} = \vec{A S} \\ t \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + k \cdot \vec{b} \\ t = (1 - k) \land t = k \\ t = 1 - t \\ t = \frac{1}{2} = k \end{array}$

4.3.11

Vi har ein trekant ABC. Vi set $\vec{A B} = \vec{a}$ og $\vec{A C} = \vec{b}$ .

Punkta D og E ligg slik at $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ og $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ . Punktet F er skjeringspunktet mellom linjestykka BD og AE.

a) Uttrykk $\vec{A E}$ og $\vec{B D}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{A E} = \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{1}{3} (\vec{B A} + \vec{A C}) = \vec{a} + \frac{1}{3} (- \vec{a} + \vec{b}) = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \end{array}$

b) Uttrykk $\vec{A F}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . (Tips: Uttrykk $\vec{A F}$ på to måtar.)

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{A F} = t \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A B} + k \cdot \vec{B D} = \vec{a} + k \cdot (- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \vec{A F} = \vec{A F} \\ \frac{2}{3} t \vec{a} + \frac{1}{3} t \vec{b} = (1 - k) \vec{a} + \frac{1}{2} k \vec{b} \\ \frac{2}{3} t = (1 - k) \land \frac{1}{3} t = \frac{1}{2} k \Rightarrow k = \frac{2}{3} t \\ \frac{2}{3} t = 1 - \frac{2}{3} t \\ \frac{4}{3} t = 1 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \\ \vec{A F} = \frac{3}{4} \cdot \vec{A E} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \end{array}$

Vi set no $A = (- 2, 0), B = (4, 0)$ og $C = (4, 10)$ .

c) Bruk det du har funne i a) og b) til å bestemme koordinatane til D, E og F.

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{a} = \vec{A B} = [4 - (- 2), 0] = [6, 0] \\ \vec{b} = \vec{A C} = [4 - (- 2), 10 - 0] = [6, 10] \\ \vec{O D} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 10] = [- 2 + 3, 0 + 5] = [1, 5] \\ \vec{O E} = \vec{O A} + \vec{A E} = [- 2, 0] + \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{2}{3} [6, 0] + \frac{1}{3} [6, 10] = [- 2 + 4 + 2, 0 + 0 + \frac{10}{3}] = [4, \frac{10}{3}] \\ \vec{O F} = \vec{O A} + \vec{A F} = [- 2, 0] + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} = \\ [- 2, 0] + \frac{1}{2} [6, 0] + \frac{1}{4} [6, 10] = [- 2 + 3 + \frac{6}{4}, 0 + 0 + \frac{10}{4}] = [\frac{10}{4}, \frac{10}{4}] \\ D (1, 5), E (4, \frac{10}{3}), F (\frac{10}{4}, \frac{10}{4}) \end{array}$

Vektorar brukte til å berekne ulike storleikar i planet

4.3.10

4.3.11