Koordinatane til eit punkt. Avstand i planet

Å finne koordinatane til eit punkt

Gitt $∆ABC$ i koordinatsystemet til høgre.
La M vere midtpunktet på BC.

Vi ønskjer å finne punktkoordinatane til
punktet M. Dette kan vi gjere ved å finne posisjonsvektoren til punktet, altså $\overrightarrow{OM}.$

Posisjonsvektoren til punktet M kan skrivast som summen av posisjonsvektoren til punktet B og halve vektoren som går frå B til C:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OM}& =& \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}\\ & & \\ & =& \overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\frac{1}{2}\left[6-8, 5-1\right]\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\frac{1}{2}\left[-2, 4\right]\\ & & \\ & =& \left[8, 1\right]+\left[-1, 2\right]\\ & & \\ & = & \left[7, 3\right]\end{array}$

Dette betyr at punktet M har koordinatane $(7, 3)$.

Avstand frå punkt til linje

Når vi skal finne ein slik avstand, er det viktig å hugse på at den kortaste avstanden frå eit punkt til ei linje er lengda av det linjestykket eller den vektoren som går frå punktet, og som står vinkelrett på linja.

Å finne høgda i ein trekant

Vi ønskjer å finne høgda frå C på AB i figuren til høgre.

Denne høgda er det same som lengda av $\overrightarrow{CD}$. Vi treng å finne koordinatane til punktet D for å rekne ut denne lengda.

Sidan D ligg på $\overrightarrow{AB}$, må vektorane $\overrightarrow{AD}$ og $\overrightarrow{AB}$ vere parallelle. Det gir grunnlag for å setje opp dette uttrykket for $\overrightarrow{CD}:$

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{CD}& = & \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\\ & & \\ & =& \overrightarrow{CA}+t·\overrightarrow{AB}\\ & & \\ & =& \left[-4,-2\right]+t\left[6,-2\right]\\ & & \\ & =& \left[-4+6t,-2-2t\right]\end{array}$

Vektorane $\overrightarrow{CD}$ og $\overrightarrow{AB}$ skal vere ortogonale.

Det gir

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{CD}·\overrightarrow{AB} & = & 0\\ & & \\ \left[-4+6t,-2-2t\right]·\left[6,-2\right]& =& 0\\ & & \\ \left(-4+6t\right)·6+\left(-2-2t\right)·\left(-2\right)& =& 0\\ & & \\ -24+36t+4+4t& =& 0\\ & & \\ 40t& =& 20\\ & & \\ t& =& \frac{1}{2}\end{array}$

Posisjonsvektoren til punktet D blir

$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+t·\overrightarrow{AB}=\left[2, 3\right]+\frac{1}{2}\left[6, -2\right]=\left[5, 2\right]$.

Det betyr at punktet D har koordinatane $\left(5, 2\right)$. Høgda i trekanten blir lik lengda av $\overrightarrow{CD}$.

$\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\left[5-6, 2-5\right]\right|=\left|\left[-1, -3\right]\right|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$