Oppgåve

Koordinatane til eit punkt. Avstand i planet

Her får du jobbe med oppgåver om punkt og avstandar i planet.

4.3.1

Vi har gitt punktet $A (4, 2)$ og vektorane $\vec{A B} = [2, 4], \vec{B C} = [2, - 1], \vec{C D} = [- 2, - 6]$ og $\vec{D E} = [- 6, 1]$ .

Finn koordinatane til punkta B, C, D og E.

Løysing

Vi finn posisjonsvektorane til dei ulike punkta:

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = [4, 2] + [2, 4] = [4 + 2, 2 + 4] = [6, 6] \\ \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{B C} = [6, 6] + [2, - 1] = [6 + 2, 6 + (- 1)] = [8, 5] \\ \vec{O D} = \vec{O C} + \vec{C D} = [8, 5] + [- 2, - 6] = [8 + (- 2), 5 + (- 6)] = [6, - 1] \\ \vec{O E} = \vec{O D} + \vec{D E} = [6, - 1] + [- 6, 1] = [0, 0] \end{array}$

Vi ser at punkta er $B (6, 6), C (8, 5), D (6, - 1)$ og $E (0, 0)$ .

4.3.2

Vi har gitt punkta $A (5, 3), B (6, 0)$ og $C (11, 5)$ .

a) Finn eit punkt P på $\vec{B C}$ slik at $\vec{A P} ⊥ \vec{B C}$ .

Løysing

Vi har at $\vec{B P} = t \cdot \vec{B C}$ fordi $\vec{B P} ∥ \vec{B C}$ .

Vi kan då finne uttrykk for $\vec{A P}$ og $\vec{B C}$ og setje skalarproduktet mellom dei lik 0:

$\begin{array}{l} \vec{B C} = [11 - 6, 5 - 0] = [5, 5] \\ \vec{A P} = \vec{A B} + \vec{B P} = [6 - 5, 0 - 3] + t \cdot [5, 5] = \\ [1, - 3] + [5 t, 5 t] = [1 + 5 t, - 3 + 5 t] \\ \vec{B C} \cdot \vec{A P} = 0 \\ [5, 5] \cdot [1 + 5 t, - 3 + 5 t] = 0 \\ 5 (1 + 5 t) + 5 (- 3 + 5 t) = 0 \\ 5 + 25 t - 15 + 25 t = 0 \\ 50 t = 10 \\ t = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \\ \vec{A P} = [1 + 5 \cdot \frac{1}{5}, - 3 + 5 \cdot \frac{1}{5}] = [2, - 2] \\ \vec{O P} = \vec{O A} + \vec{A P} = [5, 3] + [2, - 2] = [7, 1] \end{array}$

Dette betyr at P er $(7, 1)$ .

b) Finn høgda i trekanten ABC frå A.

Løysing

Dette gjer vi ved å finne lengda av $\vec{A P}$ .

$|\vec{A P}| = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{8}$

c) Bruk resultatet i b) for å finne arealet til trekanten ABC.

Løysing

$\begin{array}{l} |\vec{B C}| = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50} \\ A_{Δ} = \frac{|\vec{B C}| \cdot |\vec{A P}|}{2} = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{50}}{2} = \frac{\sqrt{400}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \end{array}$

4.3.3

Vi har gitt punktet $A (2, 3)$ og vektorane $\vec{A B} = [4, 1]$ og $\vec{A C} = [3, - 2]$

a) Finn koordinatane til B og C.

Løysing

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = [2, 3] + [4, 1] = [6, 4] \\ \vec{O C} = \vec{O A} + \vec{A C} = [2, 3] + [3, - 2] = [5, 1] \\ B (6, 4) \\ C (5, 1) \end{array}$

b) Finn lengda av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løysing

$\begin{array}{l} |\vec{A B}| = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17} \\ |\vec{A C}| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{13} \end{array}$

c) Finn vinkelen mellom $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løysing

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = |\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}| \cdot \cos ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) \\ \cos ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{4 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2)}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} = \frac{10}{\sqrt{17 \cdot 13}} \\ ∠ (\vec{A B}, \vec{A C}) \approx 47, 6 ° \end{array}$

d) Bruk opplysningane i b) og c) til å finne arealet til trekanten ABC.

Løysing

Sidan vi no kjenner to sidelengder og vinkelen mellom dei to sidene, kan vi bruke formelen for areal av trekantar:

$T = \frac{1}{2} \cdot |\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}| \cdot \sin ∠ (\vec{A B}, \vec{A B}) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \sin 47, 6 ° = 5, 48 \approx 5, 5$

e) Punktet D ligg slik at firkanten ACDB er eit parallellogram. Finn arealet av parallellogrammet.

Løysing

Dette parallellogrammet er dobbelt så stort som trekant ABC (tenk gjennom kvifor!), så arealet er 11.

f) Finn koordinatane til D.

Løysing

$\begin{array}{l} D : (x, y) \\ \vec{C D} = [x - 5, y - 1] \\ \vec{A B} = \vec{C D} \\ [4, 1] = [x - 5, y - 1] \\ 4 = x - 5 \Rightarrow x = 9 \\ 1 = y - 1 \Rightarrow y = 2 \\ D (9, 2) \end{array}$

4.3.4

Vi har gitt punkta $A (3, 2), B (9, 6)$ og $C (2, 10)$ .

Finn avstanden frå C til linja gjennom A og B.

Løysing

Vi kallar fotpunktet frå C til linja for P og finn lengda av $\vec{C P}$ :

$\begin{array}{l} \vec{C P} = \vec{C A} + \vec{A P} = \vec{C A} + t \cdot \vec{A B} = [1, - 8] + t [6, 4] = [1 + 6 t, - 8 + 4 t] \\ \vec{C P} \cdot \vec{A B} = 0 \\ [1 + 6 t, - 8 + 4 t] \cdot [6, 4] = 0 \\ 6 (1 + 6 t) + 4 (- 8 + 4 t) = 0 \\ 6 + 36 t - 32 + 16 t = 0 \\ 52 t = 26 \\ t = \frac{1}{2} \\ |\vec{C P}| = |[1 + 6 \cdot \frac{1}{2}, - 8 + 4 \cdot \frac{1}{2}]| = |[4, - 6]| = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{52} \end{array}$

Vektorar brukte til å berekne ulike storleikar i planet

4.3.1

4.3.2

4.3.3

4.3.4