Integrasjon ved delbrøkoppspalting
Vi har tidligere sett hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren enten er en potensfunksjon eller en polynomfunksjon av første grad.
Vi skal gjennom et eksempel se hvordan vi kan integrere et brøkuttrykk der nevneren er en polynomfunksjon av høyere grad. Metoden forutsetter at vi kan skrive nevneren som et produkt av ulike førstegradsuttrykk.
Eksempel
Vi skal beregne .
Vi kan faktorisere nevneren til
Vi gjør altså det motsatte av å sette to brøker på felles brøkstrek, vi splitter opp en brøk i to brøker.
Hvorfor setter vi
Svar
Utgangspunktet er en brøk med teller lik 1. Når vi splitter opp brøkene, vet vi etter faktorisering hva nevnerne blir, men vi vet ikke hva tellerne blir. Vi angir derfor de nye tellerne som to konstanter,
Ved delbrøkoppspalting får vi altså brøker av typen
Svar
Vi har at
I artikkelen "Integrasjon ved variabelskifte" fant vi en integrasjonsregel for
En av de grunnleggende integrasjonsreglene er at en konstant multiplisert med en funksjon kan omskrives slik:
Vi ser at vårt uttrykk er av typen
Dette gir
Vi har altså følgende utgangspunkt:
Nå gjelder det å finne koeffisientene
Vi setter ut fra dette at
Svar
Hvis vi har en likning, vil vi kunne lage nye likninger ved å sette ledd eller uttrykk som inneholder
Høyre side i uttrykket
Det betyr at vi kan lage en ny likning ved å sette faktoren med
Vi setter så at
Svar
Hvis vi har en likning, vil vi kunne lage en ny likning ved å sette konstantledd på den ene siden lik konstantledd på den andre siden.
Høyre side i uttrykket
Vi har nå to likninger med to ukjente og finner
Vi setter verdiene for
I siste linje i utregningen har vi forenklet ved å bruke andre logaritmesetning som sier at
Delbrøkoppspalting forutsetter at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk. En annen forutsetning er at telleren må være av lavere grad enn nevneren. Hva er årsaken til dette?
Svar
Hvis nevneren er av andre grad og faktoriseres til faktorer av første grad, vil konstantene
Delbrøkoppspalting med polynomdivisjon
Hvordan kan vi omforme en brøk der telleren er av samme grad som nevneren til et uttrykk vi kan integrere med de metodene vi kjenner til nå?
Svar
Hvis telleren er av samme grad som nevneren, kan vi utføre polynomdivisjon for å få et flerleddet uttrykk, der ett av leddene vil være en brøk med teller av lavere grad enn nevneren. Denne brøken vil kunne spaltes i delbrøker.
Denne metoden kan også brukes hvis telleren er av høyere grad enn nevneren. Et slikt uttrykk kan vi ha mulighet til å integrere med de metodene vi kjenner til nå.
Eksempel
Vi skal finne
Vi ser at telleren har samme grad som nevneren og starter derfor med å utføre en polynomdivisjon.
Vi kan nå omskrive integralet slik:
Vi omformer brøken
Vi får da følgende sammenheng mellom tellerne:
Vi setter opp to likninger med to ukjente:
Vi setter verdiene for
Integrasjon ved delbrøkoppspalting
Vi forutsetter at polynomet
Vi omskriver brøken:
Vi multipliserer med felles nevner,
Vi fullfører integrasjonen:
Dersom polynomet