Article

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer

Du har tidligere lært å dividere tall. Nå skal vi dividere polynomer. Framgangsmåten er ganske lik.

Polynomet $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ er et eksempel på et tredjegradspolynom. Den høyeste eksponenten $x$ har, er tre. Polynomet inneholder et tredjegradsledd, et andregradsledd, et førstegradsledd og et konstantledd.

Vi har sett at vi kan faktorisere andregradspolynomer ved å bruke nullpunktmetoden. Vi må da løse en andregradslikning. Tilsvarende kan tredjegradspolynomer faktoriseres ved først å løse tredjegradslikninger. Å løse generelle tredjegradslikninger ligger utenfor kompetansemålene i 1T. Men det fins en metode som gjør oss istand til å løse mange tredjegradslikninger og alle som er aktuelle i 1T.

Vi har sett at for et generelt andregradspolynom gjelder

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ hvor $x_{1}$ og $x_{2}$ er nullpunkter til $a x^{2} + b x + c$ .

Tilsvarende kan det vises at for et generelt tredjegradspolynom gjelder

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$

hvor $x_{1}$ , $x_{2}$ og $x_{3}$ er nullpunktene til $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ .

Dette betyr at hvis vi kan finne et nullpunkt $x_{1}$ , for tredjegradspolynomet (for eksempel ved prøving og feiling), så vet vi at $(x - x_{1})$ må være en faktor i uttrykket. Med andre ord er det mulig å dividere polynomet vårt med $(x - x_{1})$ . Dette kalles polynomdivisjon. Det vi da står igjen med er et andregradspolynom som vi kan faktorisere ved å bruke nullpunktmetoden.

Du husker sikkert også at noen divisjoner «gikk opp». Vi fikk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfeller kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere tallet vi startet med.

Eksempel 1

Husker du hvordan du regnet et slik delingsstykke?

$\begin{matrix} 9 & 3 & 8 & : & 7 & = & 1 & 3 & 4 \\ 7 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 2 & 8 \\ 2 & 8 \\ 0 \end{matrix}$

Dette betyr at $938 = 134 \cdot 7$ .

På tilsvarende måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynomer.

La oss først se hva vi egentlig gjør i divisjonsalgoritmen over.

938 er egentlig en forkortet skrivemåte for $900 + 30 + 8$ . Det vil si 9 hundrere pluss 3 tiere pluss 8 enere. Med penger kan vi si 9 hundrelapper pluss 3 tikroner pluss 8 kronestykker.

Når vi skal dele dette på 7, kan vi spørre hvor mye det blir på hver.

Vi kan først spørre hvor mange hundrere det blir på hver. Vi ser at det blir 1 (hel) hundrer på hver.

Da har imidlertid vi 2 hundrere igjen som kan gjøres om til 20 tiere. Da har vi til sammen 23 tiere som delt på 7 gir 3 (hele) tiere på hver.

Vi har da igjen 2 hele tiere som vi kan gjøre om til 20 enere, slik at vi har til sammen 28 enere igjen. Deler vi disse på 7, blir det 4 enere på hver.

Det blir altså 1 hundrer, 3 tiere og 4 enere på hver.

Det betyr, som vi så over, at $938 : 7 = 134$ .

Algoritmen kan settes opp slik:

$\begin{array}{cclcccccccccccc} (900 + 30 + 8) : 7 & = & 100 + 30 + 4 \\ - 700 \\ 200 + 30 + 8 \\ - (200 + 10) \\ 20 + 8 \\ - (20 + 8) \\ 0 \end{array}$

Differansen, eller resten, blir null, og divisjonen går opp, som vi sier.

Eksempel 2

Vi ser på tredjegradspolynomet $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ .

Vi setter inn $x = 1$ i polynomet og får

$2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$ .

Dette betyr at $x = 1$ er et nullpunkt for polynomet. $(x - 1)$ er en faktor i $(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3)$ , og divisjonen $(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1)$ vil «gå opp».

Vi skal nå se på hvordan vi utfører selve divisjonen.

Selve divisjonen	Forklaring
$\begin{matrix} ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 7 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 & ) & : & ( & x & ⎯ & 1 & ) & = & 2 x^{2} ⎯ 5 x ⎯ 3 \\ ⎯ & ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 2 & x^{2} & ) \\ ⎯ & 5 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 5 & x^{2} & + & 5 & x & ) \\ ⎯ & 3 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 3 & x & + & 3 & ) \\ 0 \end{matrix}$	$\begin{array}{l} 2 x^{3} : x = 2 x^{2} \\ (x ⎯ 1) \cdot 2 x^{2} = 2 x^{3} - 2 x^{2} \\ (2 x^{3} ⎯ 7 x + 2 x + 3) ⎯ (2 x^{3} ⎯ 2 x^{2}) = ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ ⎯ 5 x^{2} : x = ⎯ 5 x, (x ⎯ 1) \cdot (⎯ 5 x) = ⎯ 5 x^{2} + 5 x \\ ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 ⎯ (⎯ 5 x^{2} + 5 x) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x : x = ⎯ 3, (x - 1) \cdot (⎯ 3) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x + 3 ⎯ (⎯ 3 x + 3) = 0 \end{array}$

Vi fikk "rest lik 0". Det betyr at divisjonen gikk opp.

Vi kan da skrive

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 = (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1)$ .

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Andregradspolynomet kan vi nå faktorisere videre ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi setter $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ .

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 5 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{5 \pm 7}{4} \\ x_{1} & = & 3 x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Det betyr at

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 5 x - 3 & = & 2 (x - 3) (x - (- \frac{1}{2})) \\ = & 2 (x - 3) (x + \frac{1}{2}) \\ = & (x - 3) (2 x + 1) \end{array}$

Her har vi multiplisert inn 2-tallet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

$\begin{array}{rcl} 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 & = & (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1) \\ = & (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) \end{array}$

Vi får det samme resultatet i CAS i GeoGebra ved å skrive inn tredjegradsuttrykket og bruke knappen for faktorisering.

$\begin{array}{rcl} 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 \\ 1 \\ Faktoriser : (x - 3) (x - 1) (2 x + 1) \end{array}$

Eksempel 1

Eksempel 2

Rules for use of text "Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynomer"