Tredjegradslikninger

Vi setter inn $x=1$ i polynomet.

$1^3+2·1^2-1-2=0$, og $x-1$ er dermed en faktor i polynomet.

$(x-1)$er en faktor i likningen, og vi foretar først polynomdivisjon.

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& x^3& +& 2x^2& -& x& -& 2)& :& (& x& -& 1& )& = & x^2+3x+2 \\ -(& x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & & \\ & & & 3x^2& -& x& -& 2& & & & & & & & \\ & & -(& 3x^2& -& 3x)& & & & & & & & & & \\ & & & & & 2x& -& 2& & & & & & & & \\ & & & & -(& 2x& -& 2)& & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & \end{array}$

Da er $x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x^2+3x+2)$.

Vi finner nullpunktene til andregradspolynomet ved å sette

$x^2+3x+2=0$

$\begin{array}{rcl} x& = & \frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2·1}\\ x& = & \frac{-3\pm 1}{2}\\ x_1& = & -2 \vee x_2=-1\end{array}$

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}{x}^3+2x^2-x-2 & =& 0\\ (x-1)(x+1)(x+2) & =& 0\end{array}$

med løsningene $x=-2, x=-1 \mathrm{og} x=1$.

Vi prøver oss fram, og finner at uttrykket $x^3+4x^2+x-6$ er lik null for $x=1.$ Vi vet da at $x-1$ er faktor i $x^3+4x^2+x-6$.

$(x-1)$er en faktor i $x^3+4x^2+x-6$, og vi foretar først polynomdivisjon.

$\begin{array}{cccccccccccc}& (x^3& +& 4x^2& +& x& -& 6)& :& (x-1)& = & x^2+5x+6 \\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & \\ & & & 5x^2& +& x& -& 6& & & & \\ & -& (& 5x^2& -& 5x)& & & & & & \\ & & & & & 6x& -& 6& & & & \\ & & & & -& (6x& -& 6)& & & & \\ & & & & & & & 0& & & & \end{array}$

Da er $x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x^2+5x+6)$.

Vi finner nullpunktene til $x^2+5x+6$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6 & =& 0\\ x & =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2·1}\\ & =& \frac{-5\pm 1}{2}\\ x_1 & =& -3 \vee x_2=-2\end{array}$

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}{x}^3+4x^2+x-6 & =& 0\\ (x-1)(x+2)(x+3) & =& 0\end{array}$

med løsningene $x=-3, x=-2 \mathrm{og} x=1$.

Dersom polynomet skal være delelig med $x+1$, må polynomet være lik null for $x=-1.$ Vi setter $x=-1$ og setter polynomet lik null.

$\begin{array}{rcl}a{x}^3+4x^2-2x-4 & =& 0\\ a·(-1{)}^3+4·(-1{)}^2-2·(-1)-4 & =& 0\\ -a+4+2-4 & =& 0\\ a & =& 2\end{array}$

Når $a=2$, er polynomet delelig med $x+1$.

Når $x=-1,$ er $a=2$ (se oppgave 1.8.12 a).

$(x+1)$ er en faktor i likningen, og vi foretar polynomdivisjonen.

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (2x^3& +& 4& x^2& -2x& -4)& & & & & :& (& x& +& 1& )& =& 2x^2+2x-4 \\ -(& 2x^3& +& 2& x^2)& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & 2& x^2& -2x& -4& & & & & & & & & & & & \\ & -& (& 2& x^2& +2x)& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & -4x& -4& & & & & & & & & & & & \\ & & & & -(& -4x& -4)& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & \end{array}$

Da er $2x^3+4x^2-2x-4=(x+1)(2x^2+2x-4)$.

Vi finner nullpunktene til $2x^2+2x-4$.

$\begin{array}{rcl}2x^2+2x-4 & =& 0 (:2)\\ x^2+x-2 & =& 0\\ x & =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·(-2)}}{2·1}\\ & =& \frac{-1\pm 3}{2}\\ x_1 & =& 1 \vee x_2=-2\end{array}$

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}2x^3+4x^2-2x-4 & =& 0\\ 2(x+1)(x-1)(x+2) & =& 0\end{array}$

med løsningene $x=-2, x=-1 \mathrm{og} x=1$.

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3-3x-2$ er lik null for $x=2$. Vi vet da at $x-2$ er faktor i $x^3-3x-2.$

$\begin{array}{cccccccccccc}& (x^3& +& 0x^2& -& 3x& -& 2)& :& (x-2)& = & x^2+2x+1 \\ -& (x^3& -& 2x^2)& & & & & & & & \\ & & & 2x^2& -& 3x& -& 2& & & & \\ & & -(& 2x^2& -& 4x)& & & & & & \\ & & & & & x& -& 2& & & & \\ & & & & -(& x& -& 2)& & & & \\ & & & & & & & 0& & & & \end{array}$

Da er $x^3-3x-2=(x-2)(x^2+2x+1).$

Andregradsuttrykket $x^2+2x+1$ kan faktoriseres med første kvadratsetning $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$.

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}{x}^3-3x-2 & =& 0\\ (x-2)(x+1)(x+1) & =& 0\end{array}$

med løsningene $x=-1 \mathrm{og} x=2$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3+x-10$ er lik null for $x=2$. Vi vet da at $x-2$ er faktor i $x^3+x-10.$

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (x^3& +& 0& x^2& +& x& -& 10)& & & :& (& x& -& 2& )& = & x^2+2x+5 \\ -& (x^3& -& 2& x^2)& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & 2x^2& +& x& -& 10& & & & & & & & & & \\ & & & -(& 2x^2& -& 4x)& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & 5x& -& 10& & & & & & & & & & \\ & & & & & -(& 5x& -& 10)& & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & \end{array}$

Da er $x^3+x-10=(x-2)(x^2+2x+5).$

Vi finner nullpunktene til $x^2+2x+5$.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+5 & =& 0\\ x & =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·5}}{2·1}\end{array}$

Denne har ingen reelle løsninger.

Tredjegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}{x}^3+x-10 & =& 0\\ (x-2)(x^2+2x+5) & =& 0\end{array}$

med løsningen $x=2$.

$x^4-2x^3-x^2+2x=x(x^3-2x^2-x+2)$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3-2x^2-x+2$

er lik null for $x=2$. Vi vet da at $x-2$ er faktor i $x^3-2x^2-x+2$.

Polynomdivisjon gir

$\begin{array}{cccccccccccccc}& (x^3& -& 2x^2& -& x& +& 2)& :& (& x& -2)& =& x^2-1\\ -& (x^3& -& 2x^2)& & & & & & & & & & \\ & & & & -& x& +& 2& & & & & & \\ & & & & -(-& x& +& 2)& & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & \end{array}$

Da er $x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x^2-1)$.

Andregradsuttrykket $x^2-1$ kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

Fjerdegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl}{x}^4-2x^3-x^2+2x & =& 0\\ x(x-2)(x-1)(x+1) & =& 0\end{array}$

med løsningene $x=-1, x=0, x=1 \mathrm{og} x=2$.

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^4-5x^2+4$ er lik null for $x=2$. Vi vet da at $x-2$ er faktor i $x^4-5x^2+4.$ Polynomdivisjon gir

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& (x^4& +& 0x^3& -& 5x^2& + 0x& + 4)& :& (x& -& 2)& = & x^3& +2x^2& -x-2\\ -& (x^4& -& 2x^3)& & & & & & & & & & & & \\ & & & 2x^3& -& 5x^2& + 0x& + 4& & & & & & & & \\ & & -(& 2x^3& -& 4x^2)& & & & & & & & & & \\ & & & & -& x^2& + 0x& + 4& & & & & & & & \\ & & & & -(& -x^2& + 2x)& & & & & & & & & \\ & & & & & & -2x& + 4& & & & & & & & \\ & & & & & -(& -2x& + 4& )& & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & \end{array}$Da er $x^4-5x^2+4=(x-2)(x^3+2x^2-x-2).$

Vi prøver oss fram og finner at uttrykket $x^3+2x^2-x-2$

er lik null for $x=1.$ Vi vet da at $x-1$ er faktor i $x^3+2x^2-x-2.$ Polynomdivisjon gir

$\begin{array}{ccccccccccccccccc}& (x^3& +& 2x^2& -& x& -2)& & & :& (& x& -& 1& )& = & x^2+3x+2 \\ -& (x^3& -& x^2)& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 3x^2& -& x& & & & & & & & & & & \\ & & -(& 3x^2& -& 3x)& & & & & & & & & & & \\ & & & & & 2x& -2& & & & & & & & & & \\ & & & & -(& 2x& -2)& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 0& & & & & & & & & & \end{array}$

Da er

$\begin{array}{rcl} x^4-5x^2+4 & =& (x-2)(x^3+2x^2-x-2)\\ & =& (x-2)(x-1)(x^2+3x+2)\end{array}$

Andregradspolynomet bruker vi stirremetoden på og får

$x^2+3x+2=\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

Fjerdegradslikningen blir

$\begin{array}{rcl} x^4-5x^2+4 & =& 0\\ (x-2)(x-1)(x+2)\left(x+1\right) & =& 0\end{array}$

Løsningene blir

$x=-2 , x=-1 , x=1 , x=2$

Alternativ løsningsmetode (som er mye raskere):

Sett $x^4={\left(x^2\right)}^2$ i likningen, og bruk for eksempel stirremetoden.