Task

Integrasjonsmetoder – blandede oppgaver

Hvilken metode skal du bruke? Her kan du øve på integrasjonsmetodene.

Oppgaver

3.2.30

Det er i noen tilfeller mulig å bruke flere integrasjonsmetoder for å bestemme et integral. I denne oppgaven skal vi se på et eksempel på nettopp dette.

Vi skal bestemme $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$ .

a) Begrunn at vi kan bruke delbrøkoppspalting for å bestemme integralet, og utfør integrasjonen ved bruk av delbrøkoppspalting.

b) Begrunn at vi også kan velge å bruke integrasjon ved variabelskifte i dette tilfellet, og bestem integralet på nytt ved bruk av variabelskifte for å kontrollere at du får samme resultat.

c) Hvilken av metodene var mest effektiv?

3.2.31

I denne oppgaven må du vurdere hvilken integrasjonsmetode du kan bruke for å bestemme integralene som gis. I noen tilfeller vil flere av metodene være mulige å bruke, andre vil kreve en kombinasjon av metoder, og i noen oppgaver må du skrive om uttrykket før du kan benytte en metode.

a) $\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

b) $\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

c) $\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

d) $\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

e) $\int \begin{array}{rcl} \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} \end{array} d x$

f) $\int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x$

g) $\int x^{3} \sqrt{x} d x$

h) $\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

i) $\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

j) $\int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x$

3.2.32

I fagartikkelen "Omvendte trigonometriske funksjoner" kom vi fram til disse sammenhengene:

Omvendte trigonometriske funksjoner
Funksjon: $f (x)$	Omvendt funksjon: $g (x)$	$g^{'} (x)$
$\sin x$	$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\cos x$	$\arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan x$	$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bruk disse sammenhengene til å bestemme integralene nedenfor. Husk at derivasjon og integrasjon er motsatte regneoperasjoner.

a) $\int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x$

b) $\int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x$

c) $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$

d) $\int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x$

3.2.33

I denne oppgaven skal vi se hvordan vi kan bestemme $\int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x$ .

a) Studer integralet og kommenter hva vi må være oppmerksom på før vi starter med integrasjonen, og hva som eventuelt er annerledes med dette integralet sammenlignet med integraler som vi har bestemt tidligere.

b) Siden nevneren har to like førstegradsfaktorer, tar vi med en ekstra brøk som har nevner lik $x^{2}$ , det vil si produktet av de like faktorene. Vi husker fra oppgavene om delbrøkoppspalting at vi dermed unngår å få en situasjon der vi ikke finner verdier for $A$ og $B$ . Delbrøkoppspalting av dette integralet vil da være slik:

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x & = & \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 1}) d x \\ = & \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x}{x^{2} + 1} + \frac{D}{x^{2} + 1}) \end{array}$

Hvorfor velger vi å splitte brøken $\frac{C x + D}{x^{2} + 1}$ i to brøker?

c) Bestem $A$ , $B$ , $C$ og $D$ , og sett opp det bestemte integralet.

d) Bestem integralet ut fra det vi nå har kommet fram til.

Løsninger

3.2.30

3.2.30 a)

Integranden er en brøk der telleren har lavere grad enn nevneren. Nevneren har reelle nullpunkter og kan faktoriseres i ulike førstegradsfaktorer. Dette betyr at vi kan dele brøken i to brøker med ulike nevnere, noe som gir at integrasjon ved delbrøkoppspalting er mulig.

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere telleren:

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$

Vi spalter brøken i to brøker med $A$ og $B$ som tellere, og setter opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2} = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8}$

$\begin{array}{rcl} A (x - 2) + B (x + 4) & = & x + 1 \\ A x - 2 A + B x + 4 B & = & x + 1 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 1 & - 2 A + 4 B & = & 1 \\ A & = & 1 - B & - 2 (1 - B) + 4 B & = & 1 \\ - 2 + 2 B + 4 B & = & 1 \\ 6 B & = & 3 \\ A & = & 1 - \frac{1}{2} & B & = & \frac{1}{2} \\ A & = & \frac{1}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int (\frac{\frac{1}{2}}{x + 4} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}) d x \\ = & \frac{1}{2} \ln |x + 4| + \frac{1}{2} \ln |x - 2| + C \\ = & \frac{1}{2} (\ln |x + 4| + \ln |x - 2|) + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |(x + 4) (x - 2)| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

3.2.30 b)

Integrasjon ved variabelskifte krever at hvis vi setter en faktor lik $u$ , vil den deriverte av denne faktoren, $\frac{d u}{d x}$ , forkorte bort eventuelle faktorer med $x$ som fortsatt står i den opprinnelige integranden etter at vi har satt inn $u$ .

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Vi setter $u = x^{2} + 2 x - 8$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x + 2 \\ d x = \frac{d u}{2 x + 2} \\ d x = \frac{d u}{2 (x + 1)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int \frac{x + 1}{u} \frac{d u}{2 (x + 1)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

3.2.30 c)

Integrasjon med variabelskifte var mest effektivt.

Det er vanlig å velge integrasjon med delbrøkoppspalting hvis integranden er en brøk, men det lønner seg å sjekke om integrasjon med variabelskifte er mulig.

3.2.31

3.2.61 a)

$\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

Her kan vi bruke de generelle reglene for integrasjon av polynomer ved å gjøre en omskriving først:

$\begin{array}{rcl} \int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x & = & \int (x^{- 5} - 2 x^{- 3}) d x \\ = & \frac{1}{- 5 + 1} x^{- 5 + 1} - 2 \cdot \frac{1}{- 3 + 1} x^{- 3 + 1} + C \\ = & - \frac{1}{4} x^{- 4} - (- \frac{2}{2} x^{- 2}) + C \\ = & - \frac{1}{4 x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 b)

$\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

Her kan vi utføre polynomdivisjon før vi integrerer ved hjelp av de generelle reglene:

$\begin{matrix} (x & + & 5) & : & (2 x & + & 3) & = & \frac{1}{2} & + & \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3} \\ - & (x & + & \frac{3}{2}) \\ \frac{7}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x & = & \int (\frac{1}{2} + \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{4} \ln |2 x + 3| + C \end{array}$

3.2.31 c)

$\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

Vi velger integrasjon ved variabelskifte.

Vi setter $u = 2 x^{3} + 4 x + 5$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 6 x^{2} + 4 \\ d x = \frac{d u}{6 x^{2} + 4} \\ d x = \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x & = & \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(u)}^{3}} \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u \\ = & \frac{1}{2} \int u^{- 3} + C \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2} \cdot u^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4} {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4 {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 d)

Her kan vi bruke regelen for integrasjon av eksponentialfunksjoner i kombinasjon med gjentatt delvis integrasjon.

Vi bestemmer først $\int e^{2 x + 7} d x$ :

$\int e^{2 x + 7} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 7} + C$

Vi må nå utføre delvis integrasjon to ganger siden vi har en andregradsfaktor i integranden:

$\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

Vi velger $v$ og $u^{'}$ :

$v = 5 x^{2}$ , som gir $v^{'} = 10 x$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 10 x d x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x d x \end{array}$

Vi velger $v$ og $u^{'}$ :

$v = x$ , som gir $v^{'} = 1$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 1 d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} e^{2 x + 7}) + C \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} e^{2 x + 7} \cdot x + \frac{5}{4} e^{2 x + 7} + C \\ = & \frac{5}{4} e^{2 x + 7} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \end{array}$

3.2.31 e)

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} d x & = & \int \frac{4 x^{2} - 12 x + 9}{x^{3}} d x \\ = & \int (\frac{4 x^{2}}{x^{3}} - \frac{12 x}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - 12 x^{- 2} + 9 x^{- 3}) d x \\ = & 4 \ln |x| + 12 x^{- 1} - 9 \frac{1}{2} x^{- 2} + C \\ = & 4 \ln |x| + \frac{12}{x} - \frac{9}{2 x^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 f)

Vi omformer først radikanden slik at vi får et produkt.

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int \sqrt{x^{2} (1 - 3 x^{2})} d x \\ = & \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \end{array}$

Nå kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte:

Vi setter $u = 1 - 3 x^{2}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 6 x \\ d x = - \frac{d u}{6 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{u} \cdot \frac{d u}{- 6 x} \\ = & - \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \cdot d u \\ = & - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{9} {(1 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

3.2.31 g)

Her trengs det ikke mer enn de grunnleggende reglene for integrasjon av polynomer hvis vi omformer uttrykket.

$\begin{array}{rcl} \int x^{3} \sqrt{x} d x & = & \int x^{3} \cdot x^{\frac{1}{2}} d x \\ = & \int x^{\frac{7}{2}} d x \\ = & \frac{1}{\frac{7}{2} + 1} x^{\frac{7}{2} + 1} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot \sqrt{x} + C \end{array}$

3.2.31 h)

Vi ser at telleren er en grad lavere enn nevneren i begge ledd som inneholder $x$ . Dette kan bety at integrasjon ved variabelskifte kan være mulig. Vi prøver derfor denne metoden:

$\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

Vi setter $u = x^{5} - 5 x^{2} + 3$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 x^{4} - 10 x \\ d x = - \frac{d u}{5 x^{4} - 10 x} \\ d x = - \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x & = & \int \frac{2 x - x^{4}}{u} \cdot \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \\ = & - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & - \frac{1}{5} \ln |x^{5} - 5 x^{2} + 3| + C \end{array}$

3.2.31 i)

Vi prøver integrasjon ved variabelskifte siden vi vet at derivasjon av $\ln (x) = \frac{1}{x}$ , som vil gjøre at vi kan forkorte bort $x$ i nevneren.

$\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

Vi setter $u = \ln 3 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 \\ \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = x \cdot d u \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln 3 x)}^{3} + C \end{array}$

3.2.31 j)

Denne oppgaven kan løses ved hjelp av polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:

Vi ser at telleren har høyere grad enn nevneren, og vi starter derfor med polynomdivisjon:

$\begin{array}{ccccccccccccccccrcrrcrcrcccccccccccc} ( & x^{3} & + & x^{2} & + & x & + & 1 & ) & : & ( & x^{2} & - & 2 & x & - & 3 & ) & = & x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3} \end{array}$ $\begin{array}{ccrcrrcrcr} - & ( & x^{3} & - & 2 & x^{2} & - & 3 x & ) \\ 3 & x^{2} & + & 4 x & + & 1 \\ - & ( & 3 & x^{2} & - & 6 x & - & 9 \\ 10 x & + & 10 \end{array}$

Integralet blir nå slik:

$\int (x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3}) d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere telleren:

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

Vi spalter brøken i to brøker med $A$ og $B$ som tellere:

$\int (x + 3 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 3}) d x$

Vi setter opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} A (x - 3) + B (x + 1) & = & 10 x + 10 \\ A x - 3 A + B x + B & = & 10 x + 10 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 10 & - 3 A + B & = & 10 \\ B & = & 10 - A & - 3 A + 10 - A & = & 10 \\ - 4 A & = & 0 \\ B & = & 10 & A & = & 0 \end{array}$

Vi setter inn for $A$ og $B$ , og vi ser at en brøk blir lik 0. Når $A$ eller $B$ blir lik 0, er det fordi vi har en slik situasjon der en faktor kan forkortes bort. Dette kommer fram i den alternative løsningen nedenfor.

$\begin{array}{rcl} \int (x + 3 + \frac{0}{x + 1} + \frac{10}{x - 3}) d x & = & \int (x + 3 + \frac{10}{x - 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

Alternativ løsning: Faktoriser telleren og nevneren først, gjennomfør deretter en enklere polynomdivisjon. For å faktorisere telleren må vi se at den har nullpunkt for $x = - 1$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x & = & \int \frac{(x + 1) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 3)} d x \\ = & \int \frac{x^{2} + 1}{(x - 3)} d x \\ = & \int x + 3 + \frac{10}{x - 3} \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

3.2.32

3.2.32 a)

Dette minner om den deriverte av $\arctan x$ , og hvis vi omformer uttrykket, kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x = \int \frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} d x$

Vi setter $u = 5 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 \\ d x = \frac{d u}{5} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{1 + 25 x^{2}} d x & = & \int \frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} d x \\ = & \int \frac{1}{1 + {(u)}^{2}} \cdot \frac{d u}{5} \\ = & \frac{1}{5} \int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot d u \\ = & \frac{1}{5} \arctan u + C \\ = & \frac{1}{5} \arctan 5 x + C \end{array}$

3.2.32 b)

Dette minner om den deriverte av $\arcsin x$ , og en omforming av uttrykket gjør at vi kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x = \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x)}^{2}}} d x$

Vi setter $u = 6 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 6 \\ d x = \frac{d u}{6} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{\sqrt{1 - 36 x^{2}}} d x & = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(6 x)}^{2}}} d x \\ = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - {(u)}^{2}}} \cdot \frac{d u}{6} \\ = & \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u \\ = & \frac{1}{6} \arcsin u + C \\ = & \frac{1}{6} \arcsin 6 x + C \end{array}$

3.2.32 c)

Også her ser vi at en omforming av uttrykket gjør at vi kan bruke integrasjon ved variabelskifte.

$\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x = \int \frac{e^{x}}{1 + {(e^{x})}^{2}} d x$

Vi setter $u = e^{x}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = e^{x} \\ d x = \frac{d u}{e^{x}} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x & = & \int \frac{e^{x}}{1 + {(e^{x})}^{2}} d x \\ = & \int \frac{e^{x}}{1 + {(u)}^{2}} \cdot \frac{d u}{e^{x}} \\ = & \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ = & \arctan u + C \\ = & \arctan e^{x} + C \end{array}$

3.2.32 d)

$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x = \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(\sin x)}^{2}}} d x$

Vi setter $u = \sin x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \cos x \\ d x = \frac{d u}{\cos x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}} d x & = & \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(\sin x)}^{2}}} d x \\ = & \int \frac{\cos x}{\sqrt{1 - {(u)}^{2}}} \cdot \frac{d u}{\cos x} \\ = & \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u \\ = & \arcsin u + C \\ = & \arcsin (\sin x) + C \end{array}$

3.2.33

3.2.33 a)

Denne oppgaven ser ut til å kreve integrasjon med delbrøkoppspalting. Telleren er en grad lavere enn nevneren, noe som gjør at vi ikke trenger å benytte polynomdivisjon. Vi ser også at hvis vi faktoriserer nevneren, så består den av to like førstegradsfaktorer, $x \cdot x$ , og en faktor av andre grad som ikke er mulig å faktorisere, $x^{2} + 1$ .

3.2.33 b)

Vi splitter brøken i to brøker fordi vi trenger to likninger for å bestemme to ukjente, og det får vi ved å splitte opp.

3.2.33 c)

$\int \frac{x^{3} - 2 x + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x = \int (\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x}{x^{2} + 1} + \frac{D}{x^{2} + 1})$

$\begin{array}{rcl} A (x^{2} + 1) + B x (x^{2} + 1) + (C x) x^{2} + D x^{2} & = & x^{3} - 2 x + 1 \\ A x^{2} + A + B x^{3} + B x + C x^{3} + D x^{2} & = & x^{3} - 2 x + 1 \end{array}$

Vi finner $A$ og $B$ direkte av likningen:

$A = 1, B = - 2$

$\begin{array}{rclcrclcrcl} A + D & = & 0 & B + C & = & 1 \\ D & = & - A & C & = & 1 - B \\ D & = & - 1 & C & = & 1 - (- 2) \\ C & = & 3 \end{array}$

$\int (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x - 1}{x^{2} + 1}) d x = \int (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

3.2.33 d)

Vi kan integrere tre av de fire brøkene direkte, men brøken $\frac{3 x}{x^{2} + 1}$ må integreres ved hjelp av variabelskifte, og vi viser dette først:

$\int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Vi setter $u = x^{2} + 1$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x \\ d x = \frac{d u}{2 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x & = & \int \frac{3 x}{u} \cdot \frac{d u}{2 x} \\ = & \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{3}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{3}{2} \ln |x^{2} + 1| + C \end{array}$

Med dette på plass kan vi bestemme hele integralet:

$\begin{array}{rcl} \int \end{array} \begin{array}{rcl} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x - 1}{x^{2} + 1}) \end{array} \begin{array}{rcl} d \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array}$

$\begin{matrix} = & \begin{array}{rcl} \int \end{array} \begin{array}{rcl} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + \frac{3 x}{x^{2} + 1} - \frac{1}{1 + x^{2}}) \end{array} \begin{array}{rcl} d \end{array} \begin{array}{rcl} x \end{array} \end{matrix}$

$\begin{matrix} = & \begin{array}{rcl} - \frac{1}{x} - 2 \ln |x| + \frac{3}{2} \ln (x^{2} + 1) + \arctan x + C \end{array} \end{matrix}$

Oppgaver

3.2.30

3.2.31

3.2.32

3.2.33

Løsninger

3.2.30

3.2.31

3.2.32

3.2.33

Rules for use of text "Integrasjonsmetoder – blandede oppgaver"