Delvis integrasjon

Metoden med delvis integrasjon bygger på produktregelen for derivasjon, som er gitt slik:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(u·v\right)}^{\text{'}}& = & u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\end{array}$$

Vi husker at vi for å gjøre det enklere kan skrive $u$ i stedet for $u\left(x\right)$ og $v$ i stedet for $v\left(x\right)$.

Vi bruker denne regelen til å utlede en ny regel for integrasjon, og vi gjør det ved å integrere begge sider i uttrykket. Vi oppnår da at å integrere ett uttrykk endres til å integrere et annet uttrykk.

$$ \begin{array}{rcl} {\left(u·v\right)}^{\text{'}}& = & u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\\ & & \\ \int {\left(u·v\right)}^{\text{'}}dx& =& \int \left(u^{\text{'}}·v+u·v^{\text{'}}\right) dx\\ & & \\ u·v& =& \int \left(u^{\text{'}}·v\right) dx+\int \left(u·v^{\text{'}}\right) dx\\ & & \\ \int u^{\text{'}}·v dx& =& u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$$\begin{array}{}\end{array}$

Metoden fungerer på integraler der integranden er et produkt, og der dette produktet blir lettere å integrere når den ene faktoren i produktet deriveres og den andre antideriveres.

Vi skal finne $$ \begin{array}{c}\int 2x·\ln x dx\end{array}$$ ved bruk av delvis integrasjon.

Vi legger merke til at integranden er et produkt og starter med å angi hva som er $$ u^{\text{'}}$$, og hva som er $$ v$$. Vi velger ut fra at $$ u^{\text{'}}$$ må kunne integreres, mens $$ v$$ må kunne deriveres.

$$ \int \stackrel{u^{\text{'}}}{2x}·\stackrel{v}{\ln x }dx$$

Vi har valgt $$ u^{\text{'}}=2x$$ og $$ v=\ln x$$. Hva hadde skjedd hvis vi hadde valgt motsatt i dette tilfellet?

Vi har da at

$$ u^{\text{'}}=2x$$, som gir $u=x^2$

$$ v=\ln x$$, som gir $$ v^{\text{'}}=\frac{1}{x}$$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon

$$ \begin{array}{c}\int u^{\text{'}}·v dx=u·v-\int u·v^{\text{'}} dx\end{array}$$

og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \stackrel{u^{\text{'}}}{2x}·\stackrel{v}{\ln x }dx& = & \stackrel{u}{x^2}·\stackrel{v}{\ln x}-\int \stackrel{u}{x^2}·\frac{\stackrel{v^{\text{'}}}{1}}{x} dx\\ & & \\ & =& x^2·\ln x-\int x dx\\ & & \\ & =& x^2\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+C\end{array}$$

Poenget er å få en integrand på høyre side som er enklere å integrere enn det vi hadde som utgangspunkt. Vi må altså finne ut hvilken av faktorene som derivert gir et enklere integrasjonsuttrykk.

Du må tenke deg om før du velger hva du skal sette som $$ u^{\text{'}}$$ og $$ v$$. Det kan ofte være både lurt og nødvendig å bytte rekkefølgen på uttrykkene i integranden, men det er likevel ikke uvanlig å gjøre et valg, finne ut at det var feil og så gjøre omvalg.

Over så vi for eksempel at det var lurt å velge $\ln x$ som den faktoren som skal deriveres fordi ${\left(\ln x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$, og det gir i mange tilfeller mulighet til å forkorte integranden.

Det er viktig at du regner mange oppgaver, slik at du både lærer selve metoden, men også etter hvert gjenkjenner uttrykk som lar seg integrere med delvis integrasjon.